В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком . Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.
Навигация по странице.
Общее представление о делении целых чисел с остатком
Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел . Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел .
Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.
По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным , если остаток равен нулю).
Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число , и его величина не превосходит b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).
Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .
Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело ). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.
Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.
С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.
Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .
Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком .
Теорема.
Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .
Доказательство.
Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .
Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .
Задание | Ответ на вопрос | ||
Чему равен остаток от 57:8? | 10 | 1 | 3 |
Чему равен остаток от 90:8? | 2 | 11 | 1 |
Укажите остаток 1213:12 | 101 | 12 | 1 |
Укажите неполное частное 1213:12 | 101 | 11 | 1 |
Выбрать возможный остаток от деления на 6 | 5 | 7 | 10 |
Выбрать возможный остаток от деления на 3 | 3 | 2 | 5 |
Делитель 8, неполное частное 11, остаток 3. Чему равно делимое? | 35 | 41 | 91 |
Делитель 7, неполное частное 9, остаток 6. Чему равно делимое? | 69 | 61 | 51 |
Проверить выполнение заданий перфокарт.
Выставить отметки:
- 8 верно выполненных заданий – “5”
- 6-7 верно выполненных заданий – “4”
- 5-4 верно выполненных заданий – “3”
Меньше 4 верно выполненных заданий – “2”
Обратить внимание детей на анализ допущенных ошибок.
7. Домашнее задание: № 540, 541, работа над проектом, правило.
8. Подведение итогов урока построить с помощью ответов на следующие вопросы:
- Неизвестное число разделили на 7, получилось 7 и в остатке 2. Найдите это число. (51) Как найти это число?
- Мама сварила варенья 17 литров. Сколько двухлитровых банок ей необходимо взять, чтобы разлить варенье? (9 банок)
Например 40:6=6 (4)
В данном примере
делимое -40, число, стоящее перед знаком деления,
6-делитель, число, стоящее после знака деления или на которое делим делимое.
6-частное, то, что получается в результате деления
4-остаток, число, остающееся при делении
В примере:
20 - это делимое (то, что делится),
10 - это делитель (то, что делит),
2 - это частное (то, что при умножении на делитель образует делимое).
Возьмем другой пример:
17: 3 = 5 (2), где
17 - делимое,
3 - делитель,
5 - неполное частное,
2 - остаток.
При этом интересно, что остаток всегда меньше, чем неполное частное.
Для того чтобы не путаться в определении величин с которыми приходится иметь дело в процессе деления, люди давным давно придумали для них подходящие названия. Прежде всего само число. которое делят стали называть Делимым, ведь это число делится на части, оно буквально делимое. Например урожай плодов.
Число, которое показывает на сколько частей мы поделим Делимое стали называть Делитель. Его задача разделить число на несколько групп, чтобы всем хватило поровну.
Результат деления назвали Частным - это число показывает сколько единиц оказывается в каждой группе, кучке плодов, после того как разделили весь урожай.
Наконец остаток - это то целое число плодов, которое невозможно поделить между всеми поровну.
Собрали 51 яблоко. Это делимое.
Решили поделить между папой, мамой, дочкой и сыном поровну, то есть на четырех. Это делитель.
Поделили и получили что каждому причитается 12 яблок - это частное.
А три яблока нельзя поделить на четырех и это Остаток.
51:4=12 (остаток 3).
Делимое - это число, которое будем делить.
Делитель - это число, на которое будем делить
Частное - это число, которое образуется при делении
Остаток - это число, которое остается при делении (при этом частное будет неполным)
Например
Здесь 30 - делимое, 4 - делитель, 7 - частное, 2 - остаток
Объяснить, что такое делимое, делитель, частное и остаток - реально легче на различных примерах.
Вот самый простенький вариант, тут все делится без остатка.
Или вот такой еще пример.
Ничего сложного как видим нет, все это дети изучают еще в начальных классах на уроках математики.
Сразу же приведем пример (можно даже несколько примеров):
2). 21: 5 = 4,2 или же 4 и 1 в остатке.
Делимое - это то число, которое мы делим (в наших примерах делимыми являются 18 и 21).
Делитель - это то число, на которое мы делим делимое (делителями в наших примерах являются 9 и 5).
Частное - это результат деления (частное в первом примере 2, а во втором примере 4,2).
В первом случае делимое делится без остатка, а во втором у нас есть остаток - 1.
С понятия делимое, делитель, частное и остаток, начинают изучать деление в средней школе. Так что это просто необходимо при изучении математики. И так делимое это число, которое подвергают делению. Делитель, это то число на которое делят, а соответственно частное это и есть результат деления. Но так уж бывает когда делимое число не делится нацело. Вот и образуемое в процессе деления число которое меньше делителя и которое нельзя разделить нацело и называется остаток.
А пример можно привести следующий.
например.
34: 5 = 6 (остаток 4)
В данном случае 34 - делимое
5 - делитель.
6 - частное отделения
4 - остаток.
делимое делитель частное остаток
Все это части математического действия - деления .
Попробую простым языкам, как объясняли мне.. лет тридцать назад..)
Делимое - это число стоящее слева от знака деления, которое делим (дробим)
Делитель - это число стоящее справа от знака деления, число на которое делим Делимое (какими частями делим, дробим)
Частное - это число стоящее после знака равно, результат деления (числовое выражение количества целых частей - делителей в делимом)
Неполное частное - это число стоящее после знака равно, результат деления при котором оставил лишнее число которое меньше Делителя. Неполное частное это количество только целых частей. Всегда пишется с числом Остатка.
Остаток - это число оставшееся не делимым, которое меньше Делителя.
А теперь на примерах -
10: 5 = 2
В этом примере 10 - Делимое, 5 - Делитель, 2 - Частное.
13: 5 = 2 (3)
В этом примере 13 - Делимое, 5 - Делитель, 2 - неполное Частное, 3 - Остаток (как правило пишется в скобках рядом с неполным частным).
Данные понятия арифметики легче всего рассмотреть на примере.
Пример: 17: 8 = 2 (остаток - 1).
В этом примере 17 - делимое (число, которое делят), 8 - делитель (то, на что мы делим), 2 - остаток (то, что получаем при делении), 1 - остаток.
Все приведнные в вопросе понятия напрямую относятся к делению в математике.
Итак, начнм с делимого - под ним подразумевается то число, которое будет делиться;
Делитель уже подразумевает под собой то число, на которое будет делиться имеющееся делимое.
Частное представляет собой результат, полученный от деления.
Остаток представляет собой число остающееся при делении в результате у нас будет неполное частное.
Вот пример:
Как научить ребенка делению? Самый простой метод – выучить деление столбиком . Это гораздо проще, чем проводить вычисления в уме, помогает не запутаться, не «потерять» цифры и выработать мысленную схему, которая в дальнейшем будет срабатывать автоматически.
Вконтакте
Как проводится
Деление с остатком – это способ, при котором число нельзя разделить ровно на несколько частей. В результате данного математического действия, помимо целой части, остается неделимый кусок.
Приведем простой пример того, как делить с остатком:
Есть банка на 5 литров воды и 2 банки по 2 литра. Когда из пяти литровой банки воду переливают в двухлитровые, в пятилитровой останется 1 литр не использованной воды. Это и есть остаток. В цифровом варианте это выглядит так:
5:2=2 ост (1). Откуда 1? 2х2=4, 5-4=1.
Теперь рассмотрим порядок деления в столбик с остатком. Это визуально облегчает процесс расчета и помогает не потерять числа.
Алгоритм определяет расположение всех элементов и последовательность действий, по которой совершается вычисление. В качестве примера, разделим 17 на 5.
Основные этапы :
- Правильная запись. Делимое (17) – располагается по левую сторону. Правее от делимого пишут делитель (5). Между ними проводят вертикальную черту (обозначает знак деления), а затем, от этой черты проводят горизонтальную, подчеркивая делитель. Основные черты обозначена оранжевым цветом.
- Поиск целого. Далее, проводят первый и самый простой расчет – сколько делителей умещается в делимом. Воспользуемся таблицей умножения и проверим по порядку: 5*1=5 — помещается, 5*2=10 — помещается, 5*3=15 — помещается, 5*4=20 – не помещается. Пять раз по четыре – больше чем семнадцать, значит, четвертая пятерка не вмещается. Возвращаемся к трем. В 17 литровую банку влезет 3 пятилитровых. Записываем результат в форму: 3 пишем под чертой, под делителем. 3 – это неполное частное.
- Определение остатка. 3*5=15. 15 записываем под делимым. Подводим черту (обозначает знак «=»). Вычитаем из делимого полученное число: 17-15=2. Записываем результат ниже под чертой – в столбик (отсюда и название алгоритма). 2 – это остаток.
Обратите внимание! При делении таким образом, остаток всегда должен быть меньше делителя.
Когда делитель больше делимого
Вызывают затруднение случаи, когда делитель получается больше делимого. Десятичные дроби в программе за 3 класс еще не изучаются, но, следуя логике, ответ надо записывать в виде дроби – в лучшем случае десятичной, в худшем – простой. Но (!) помимо программы, методику вычисления ограничивает поставленная задача : необходимо не разделить, а найти остаток! часть им не является! Как решить такую задачу?
Обратите внимание! Существует правило для случаев, когда делитель больше делимого: неполное частное равно 0, остаток равен делимому.
Как разделить число 5 на число 6, выделив остаток? Сколько 6-литровых банок влезет в пятилитровую? , потому что 6 больше 5.
По заданию необходимо заполнить 5 литров – не заполнено ни одного. Значит, остались все 5. Ответ: неполное частное = 0, остаток = 5.
Деление начинают изучать в третьем классе школы. К этому времени ученики уже должны , что позволяет им совершать деление двузначных чисел на однозначные.
Решите задачу: 18 конфет нужно раздать пятерым детям. Сколько конфет останется?
Примеры:
Находим неполное частное: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15. 5 – перебор. Возвращаемся к 4.
Остаток: 3*4=12, 14-12=2.
Ответ: неполное частное 4, осталось 2.
Вы можете спросить, почему при делении на 2, остаток либо равен 1, либо 0. По таблице умножения, между цифрами, кратными двум существует разница в единицу .
Еще одна задача: 3 пирожка надо разделить на двоих.
4 пирожка разделить на двоих.
5 пирожков разделить на двоих.
Работа с многозначными числами
Программа за 4 класс предлагает более сложный процесс проведения деления с увеличением расчетных чисел. Если в третьем классе расчеты проводились на основе базовой таблицы умножения в пределах от 1 до 10, то четвероклассники вычисления проводят с многозначными числами более 100.
Данное действие удобнее всего выполнять в столбик, так как неполное частное также будет двузначным числом (в большинстве случаев), а алгоритм столбика облегчает вычисления и делает их более наглядными.
Разделим многозначные числа на двузначные : 386:25
Данный пример отличается от предыдущих количеством уровней расчета, хотя вычисления проводят по тому же принципу, что и ранее. Рассмотрим подробнее:
386 – делимое, 25 – делитель. Необходимо найти неполное частное и выделить остаток.
Первый уровень
Делитель – двузначное число. Делимое – трехзначное. Выделяем у делимого первые две левые цифры – это 38. Сравниваем их с делителем. 38 больше 25? Да, значит, 38 можно разделить на 25. Сколько целых 25 входит в 38?
25*1=25, 25*2=50. 50 больше 38, возвращаемся на один шаг назад.
Ответ – 1. Записываем единицу в зону не полного частного .
38-25=13. Записываем число 13 под чертой.
Второй уровень
13 больше 25? Нет – значит можно «опустить» цифру 6 вниз, дописав ее рядом с 13, справа. Получилось 136. 136 больше 25? Да – значит можно его вычесть. Сколько раз 25 поместиться в 136?
25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150 больше 136 – возвращаемся назад на один шаг. Записываем цифру 5 в зону неполного частного, справа от единицы.
Вычисляем остаток:
136-125=11. Записываем под чертой. 11 больше 25? Нет – деление провести нельзя. У делимого остались цифры? Нет – делить больше нечего. Вычисления закончены.
Ответ: неполное частное равно 15, в остатке 11.
А если будет предложено такое деление, когда двузначный делитель больше первых двух цифр многозначного делимого? В таком случае, третья (четвертая, пятая и последующая) цифра делимого принимает участие в вычислениях сразу.
Приведем примеры на деление с трех- и четырехзначными числами:
75 – двузначное число. 386 – трехзначное. Сравниваем первые две цифры слева с делителем. 38 больше 75? Нет – деление провести нельзя. Берем все 3 цифры. 386 больше 75? Да – деление провести можно. Проводим вычисления.
75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5= 375, 75*6=450. 450 больше 386 – возвращаемся на шаг назад. Записываем 5 в зону неполного частного.