В последние годы на вступительных экзаменах, на итоговом тестировании в форме ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Эти задачи позволяют диагностировать уровень математического и, главное, логического мышления абитуриентов, способность осуществлять исследовательскую деятельность, а также просто знание основных разделов школьного курса математики.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр “равен в правах” с переменной, то ему, естественно, можно “выделить” и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – “метод областей”. Наряду с другими методами, применяемыми при решении задач с параметрами, я знакомлю своих учеников и с графическими приёмами, обращая внимание на то, как распознать “такие” задачи и как выглядит процесс решения задачи.
Самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:
Задача 1. “При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?”
Решение. 1).
Раскроем модули с учётом знака
подмодульного выражения: 
2). Запишем все системы получившихся неравенств:
а) 
б) 
в) 
г) 
3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств (рис.1а).
4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол.
На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если . Ответ: при .
Рассмотренный пример представляет собой
“открытую задачу” - можно рассмотреть решение
целого класса задач, не изменяя рассмотренное в
примере выражение
, в которых технические
трудности построения графиков уже преодолены.
Задача. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? Ответ: при .
Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения.
Ответ: , тогда 
, 
;
Тогда 
; , тогда 
, .
Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень. Ответ: при при .
Задача. Решите неравенство .
(“Работают” точки, лежащие внутри парабол).
, ; , решений нет;
Задача 2.Найдите все значения параметра а
,
при каждом из которых система неравенств
образует на числовой прямой отрезок длины 1.
Решение. Перепишем исходную систему в таком
виде 
Все решения этой системы (пары вида )
образуют некоторую область, ограниченную
параболами 
и 
(рис 1).
Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при . Ответ: ; .
Задача 3.Найдите все значения параметра , при которых
множество решений неравенства 
содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не
имеющие общих точек.
Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство:
, ,
(1)
Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:
(рис. 2).
Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале Это возможно при , т.е. при . Ответ: .
Задача 4.Найдите все значения параметра , при каждом из
которых множество решений неравенства 
содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в
некотором отрезке длиной 7.
Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и .
, ,
;
последнее неравенство равносильно совокупности
двух систем:
Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3).
1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию.
2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда . Ответ: .
Задача 5. Найдите все значения параметра , при
которых множество решений неравенства 
содержит число 4, а также содержит два
непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.
Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:
, ,
, 
.
Из последнего неравенства следует:
1) 
2)
Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4).
а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4.
б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: . Ответ: .
Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых
множество решений неравенства 
содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не
содержит
никакого отрезка длиной 3.
Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение:
, 
. Из
последнего неравенства следует:
1) 
2) 
Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5).
Очевидно, что условие задачи выполняется, если 
. Ответ:
.
Задача 7. Найдите все значения параметра , при
которых множество решений неравенства 1+
содержится в некотором отрезке длиной 1 и при
этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5.
Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра:
2). Перепишем неравенство в виде
, 
,
(1).
Неравенство (1) равносильно совокупности двух
систем:
1) 
2) 
С учётом ОДЗ решения систем выглядят так:
а) 
б)
(рис. 6).
а) 
б)
Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Ответ: .
Задача 8. Шесть чисел образуют возрастающую
арифметическую прогрессию. Первый, второй и
четвертый члены этой прогрессии являются
решениями неравенства 
, а остальные
не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.
Решение. I. Найдём все решения неравенства
а). ОДЗ: 
, т.е.
(учли в решении, что функция возрастает на ).
б). На ОДЗ неравенство 
равносильно неравенству 
, т.е. 
, что
даёт:
1). 
2). 
Очевидно, решением неравенства служит
множество значений 
.
II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком (рис. 8 , где - первый член, - второй и т.д.). Заметим, что:
Или имеем систему линейных неравенств:
решим её графическим способом. Строим прямые и , а
также прямые
То, ..
Первый, второй и шестой члены этой прогрессии
являются решениями неравенства 
, а
остальные не являются решениями этого
неравенства. Найдите множество всех возможных
значений разности этой прогрессии.
При каких значениях параметра $a$ неравенство ${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение?
Решение
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при $x^2$:
${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1 < 0 .$
Вычислим дискриминант: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси $x$. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трёхчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство $a^2 - 28a > 0$. Квадратный трехчлен $a^2 - 28a$ имеет два корня: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Поэтому неравенству $a^2 - 28a > 0$ удовлетворяют промежутки $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Ответ. $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ имеет хотя бы один корень, и при этом все корни положительны?
Решение
Пусть $a=2$. Тогда уравнение принимает вид ${} - 4x +5 = 0$ , откуда получаем, что $x=\dfrac{5}{4}$ - положительный корень.
Пусть теперь $a\ne 2$. Получается квадратное уравнение. Определим сначала, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) ={} -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Корни по условию должны быть положительны, следовательно, из теоремы Виета получаем систему:
$ \begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2a}{a - 2}>0,\\ x_1x_2 = \dfrac{a + 3}{a - 2}> 0,\\a\leqslant 6\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup(2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Объединяем ответы, получаем искомое множество: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Ответ. $a\in(-\infty;-3)\cup$.
При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ не имеет решений?
Решение
- Если $a = 0$, то данное неравенство вырождается в неравенство $5 \leqslant 0$ , которое не имеет решений. Поэтому значение $a = 0$ удовлетворяет условию задачи.
- Если $a > 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим $\dfrac{D}{4} = 4a^2 - 5a$. Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней ($D < 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Если $a < 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Ответ. $a \in \left$ лежит между корнями, поэтому корней должно быть два (значит, $a\ne 0$). Если ветви параболы $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ направлены вверх, то $y(-1) < 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0$ и $y(1) > 0$.
Случай I. Пусть $a > 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a > 3$.
Cлучай II. Пусть $a < 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a < -1$.
Ответ. $a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$ \begin{cases} x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end{cases} $
имеет ровно два решения.
Решение
Вычтем из первого второе: $(x-y)^2 = 1$. Тогда
$ \left[\begin{array}{l} x-y = 1, \\ x-y = -1 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} x = y+1, \\ x = y-1. \end{array}\right. $
Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратных уравнения: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ и $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Дискриминант каждого из них равен $D = 16a-4$.
Заметим, что не может получиться так, что пара корней первого из квадратных уравнений совпадает с парой корней второго квадратного уравнения, так как сумма корней первого равна $-1$, а второго 1.
Значит, нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному корню, тогда у исходной системы их будет два решения. То есть $D = 16a - 4 = 0$.
Ответ. $a=\dfrac{1}{4}$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ имеет два корня.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0. $
Рассмотрим функцию $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
При $x\geqslant 3$ первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\geqslant 5-3-1=1>0$, то есть эта функция на данном промежутке неограниченно возрастает.
Рассмотрим теперь промежуток $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Итак, мы получили, что $x=3$ - точка минимума данной функции. А это означает, что для того чтобы у исходного уравнения было два решения, значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a|| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a| < 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Ответ.
$a \in (-24; 18)$ При каких значениях параметра $a$ уравнение $5^{2x}-3\cdot 5^x+a-1=0$ имеет единственный корень? Сделаем замену: $t = 5^x > 0$. Тогда первоначальное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2-3t+a-1 =0$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой - отрицательный. Дискриминант уравнения равен: $D = 13-4a$. Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при $a = \dfrac{13}{4}$. При этом корень $t=\dfrac{3}{2} > 0$, поэтому данное значение $a$ подходит. Если есть два корня, один из которых положителен, другой - неположителен, то $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ и $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$. То есть $a\in(-\infty;1]$ Ответ.
$a\in(-\infty;1]\cup\left\{\dfrac{13}{4}\right\}$ Найдите все значения параметра $a$, при которых система $ \begin{cases}\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end{cases} $ имеет ровно два решения. Преобразуем систему к следующему виду: $ \begin{cases} \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end{cases} $ Поскольку параметр $a$ находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: $a>0$, $a \ne 1$. Поскольку переменная $y$ является аргументом логарифма, то $y > 0$. Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: $\log_a y = y^2$. В зависимости от того, какие значения принимает параметр $a$, возможны два случая: Ответ.
$a\in(0;1)$
Рассмотрим случай, когда $a > 1$. Так как при больших по модулю значениях $t$ график функции $f(t) = a^t$ лежит выше прямой $g(t) = t$, то единственная общая точка может быть только точкой касания. Пусть $t_0$ - точка касания. В этой точке производная к $f(t) = a^t$ равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того, значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система: $ \begin{cases} a^{t_0}\ln a = 1, \\ a^{t_0} = t_0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a^{t_0} = \dfrac{1}{\ln a}, \\ a^{\tau} = \tau \end{cases} $ Откуда $t_0 = \dfrac{1}{\ln a}$. $ a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^{\log_a e} =\frac{1}{\ln a} \quad \Leftrightarrow \quad a = e^{\frac{1}{e}}. $ При этом других общих точек у прямой и показательной функции очевидно нет. Ответ.
$a \in (0;1] \cup \left\{e^{e^{-1}}\right\}$ Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и
квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в
зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами. Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера: \[у = kx,\] где \ - переменные, \- параметр; \[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр; \[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр. Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений. Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения: 1. Определить "контрольные" значения параметра. 2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте. 3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом
пункте. Допустим, дано такое уравнение: \[\mid 6 - x \mid = a.\] Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\] По правилу модуля \ выразим \ Ответ: \ где \ Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам. Уравнение вида f
(x
; a
) = 0 называется уравнением
с переменной х
и параметром а
.
Решить уравнение с параметром а
– это
значит, для каждого значения а
найти значения
х
, удовлетворяющие этому уравнению. Пример 1.
ах
= 0 Пример 2.
ах
= а
Пример 3.
х + 2 = ах Если 1 – а
= 0, т.е. а
= 1, то х
0 = -2 корней
нет Если 1 – а
0, т.е. а
1, то х
= Пример 4.
(а
2 – 1) х
= 2а
2 + а
– 3 Если а
= 1, то 0х
= 0 Если а
= -1, то 0х
= -2 Если а
1, а
-1, то х
= (единственное решение). Это значит, что каждому допустимому значению а
соответствует единственное значение х
. Например: если а
= 5, то х
= = ; если а
= 0, то х
= 3 и т. д. 1. ах
= х
+ 3 2. 4 + ах
= 3х
– 1 3. а
= + при а
= 1 корней нет. при а
= 3 корней нет. при а
= 1 х
– любое действительное число,
кроме х
= 1 при а
= -1, а
= 0 решений нет. при а
= 0, а
= 2 решений нет. при а
= -3, а
= 0, 5, а
= -2 решений нет при а
= -с
, с
= 0 решений нет. Пример 1.
Решить уравнение (а
– 1)х
2 = 2(2а
+ 1)х
+ 4а
+ 3 = 0 При а
= 1 6х
+ 7 = 0 В случае а
1 выделим
те значения параметра, при которых Д
обращается в нуль. Д = (2(2а
+ 1)) 2 – 4(а
– 1)(4а
+ 30 = 16а
2
+ 16а
+ 4 – 4(4а
2 + 3а
– 4а
– 3) = 16а
2
+ 16а
+ 4 – 16а
2 + 4а
+ 12 = 20а
+ 16 20а
+ 16 = 0 20а
= -16 Если а
< -4/5, то Д
< 0, уравнение имеет
действительный корень. Если а
> -4/5 и а
1,
то Д
> 0, х
= Если а
= 4/5, то Д
= 0, Пример 2.
При каких значениях
параметра а уравнение х 2 + 2(а
+ 1)х
+ 9а
– 5 = 0 имеет 2
различных отрицательных корня? Д = 4(а
+ 1) 2 – 4(9а
– 5) = 4а
2
– 28а
+ 24 = 4(а
– 1)(а
– 6) 4(а
– 1)(а
– 6) > 0 по т. Виета: х
1 + х
2 = -2(а
+ 1) По условию х
1 < 0, х
2 < 0 то
–2(а
+ 1) < 0 и 9а
– 5 > 0 (Рис. 1
) < a
< 1, либо a
> 6 Пример 3.
Найдите значения а
, при
которых данное уравнение имеет решение. х 2 – 2(а
– 1)х
+ 2а
+ 1 = 0 Д = 4(а
– 1) 2 – 4(2а
+ 10 = 4а
2
– 8а
+ 4 – 8а
– 4 = 4а
2 – 16а
4а
2 – 16 0 4а
(а
– 4) 0 а(а
– 4)) 0 а(а
– 4) = 0 а = 0 или а
– 4 = 0 (Рис. 2
) Ответ: а
0 и а
4 1. При каком значении а
уравнение ах
2
– (а
+ 1) х
+ 2а
– 1 = 0 имеет один корень? 2. При каком значении а
уравнение (а
+ 2) х
2
+ 2(а
+ 2)х
+ 2 = 0 имеет один корень? 3. При каких значениях а уравнение (а
2
– 6а
+ 8) х
2 + (а
2 – 4) х
+ (10
– 3а
– а
2) = 0 имеет более двух корней? 4. При каких значениях а уравнение 2х
2 + х
– а
= 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х
2 – 7х
+ 6 = 0? 5. При каких значениях а уравнения х
2 +ах
+ 1 = 0 и х
2 + х
+ а
= 0 имеют хотя бы
один общий корень? 1. При а
= - 1/7, а
= 0, а
= 1 2. При а
= 0 3. При а
= 2 4. При а
= 10 5. При а
= - 2 Пример 1
.Найти все значения а
,
при которых уравнение 9 х – (а
+ 2)*3 х-1/х +2а
*3 -2/х =
0 (1) имеет ровно два корня. Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х,
получим равносильное уравнение 3 2(х+1/х) – (а
+ 2)*3 х+1/х + 2а
= 0 (2) Пусть 3 х+1/х = у
, тогда уравнение (2)
примет вид у
2 – (а
+ 2)у
+ 2а
= 0,
или (у
– 2)(у
– а
) = 0, откуда у
1 =2, у
2
= а
. Если у
= 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х
+ 1/х
=
log 3 2 , или х
2 – х
log 3 2 + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д
= log 2 3 2 – 4 < 0. Если у
= а
, т.е. 3 х+1/х = а
то х
+
1/х
= log 3 а
, или х
2 – х
log 3 а
+ 1 = 0. (3) Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2. Если log 3 а > 2, то а
> 9, а если log 3 а
< -2, то 0 < а
< 1/9. Ответ: 0 < а
< 1/9, а
> 9. Пример 2
. При каких значениях а
уравнение 2 2х – (а –
3) 2 х – 3а
= 0
имеет решения? Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t
2 – (a –
3) t
– 3a
= 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х
1 = -3, х
2
= а
= > а – положительное число. Ответ: при а
> 0 1. Найти все значения а, при которых уравнение 25 х – (2а
+ 5)*5 х-1/х + 10а
* 5 -2/х
= 0 имеет ровно 2 решения. 2. При каких значениях а уравнение 2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный
корень? 3. При каких значениях параметра а уравнение 4 х - (5а
-3)2 х +4а
2 – 3а
=
0 имеет единственное решение? Пример 1.
Найти все значения а
,
при которых уравнение log 4x (1 + ах
) = 1/2 (1) имеет единственное решение. Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению 1 + ах
= 2х
при х
> 0, х
1/4 (3) х
= у
ау 2 –у
+ 1 = 0 (4) Не выполняется (2) условие из (3). Пусть а
0, то ау 2
– 2у
+ 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д
= 4 – 4а
0, т.е. при а
1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.
Углубленное
изучение курса алгебры и математического
анализа. – М.: Просвещение, 1990
1. Задача.
1. Решение.
1. Ответ:
уравнение имеет единственный корень при a
О
{0; 1; 2}.
2. Задача.
2. Ответ:
3. Задача.
3. Решение.
4. Задача.
4. Решение.
5. Решение.
5. Ответ:
3.
6. Задача (10 кл.)
6. Ответ:
a
О
}
Решение
Решение
Где можно решить уравнение с параметром онлайн?
х – ах = -2
х(1 – а) = -2
(а
– 1)(а
+ 1)х
= 2(а
– 1)(а
– 1,5)
(а
– 1)(а
+ 1)х
= (1а
– 3)(а
– 1)
х
– любое действительное число
Корней нет
Дидактический материал
Квадратные уравнения с параметром
х
1 х
2 = 9а
– 5В итоге
4(а
– 1)(а
– 6) > 0
- 2(а
+ 1) < 0
9а
– 5 > 0
а
< 1: а > 6
а
> - 1
а
> 5/9
а
= 4
Дидактический материал
Показательные уравнения с параметром
Дидактический материал
Логарифмические уравнения с
параметром
При каких значениях параметра a
уравнение
(a
- 1)x
2 + 2x
+ a
- 1 = 0
имеет ровно один корень?
При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a
№
1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a
2 - 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.
Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откудаa
О
(-Ґ
; 1 –
Ц
7 2
) И
(1 +
Ц
7 2
; Ґ
).
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.