Золотое сечение это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве - во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.
Определение
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина - 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
История
Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой - Отца, а целое - Святой дух.
Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.
Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.
Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.
Природа
Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.
Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.
Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.
Человек
Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек - это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.
В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.
Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела - 8:5.
Искусство пространственных форм
Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика». Долгое время художники следователи этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.
Искусствовед Ф. В. Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна будь-то камин, этажерка, кресло или сам поэт строго вписаны в золотые пропорции.
Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.
И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.
Слово, звук и кинолента
Формы временно̀го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи - 5, 8, 13, 21, 34.
Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) - это и есть точка золотого сечения.
Советский музыковед Э. К. Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.
Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух - в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.
Тарас Репин
Оригинал записи и комментарии на
. ИМЯ, ДАННОЕ ПО ОШИБКЕвсё о золотом сечении
Числа правят миром.
Пифагор
Числа не управляют миром,
но показывают, как управляется мир.
Гёте
П ойдем к неизвестному от известного, а путь начнем прямо с середины. Только не простой, а золотой.
Золотое сечение («Божественная пропорция», если верить теоретикам времен Возрождения), – пожалуй, самый знаменитый из математических феноменов. Но заговори о золотой пропорции с математиком, и он посмотрит на тебя как на изобретателя вечного двигателя, охотника за НЛО или снежным человеком. Ну а как еще относиться к тому, кто и в XXI веке ищет философский камень, обращающий простой металл в золото ?
Для математика в золотом сечении ни тайны, ни загадки: всего лишь решение простенького квадратного уравнения
x 2 – x – 1 = 0
А можно и проще: золотое сечение – среднеарифметическое √5 и 1.
√5 + 1
–––––= Ф = 1, 618…
Однако при этом
√5 – 11
–––––= –––– = 0,618…
2Ф
Золотое число и обратное ему отличаются на единицу. Так что основных золотых чисел, строго говоря, – два: Ф и 1/Ф: у множая на Ф , или деля на 1/Ф , получишь один и тот же результат.
Но математик не для того грыз гранит науки, чтобы тешиться нехитрыми перевертышами, или ломать зубы о философский камень, даже если это камень гармонии.
Для него золотое сечение – ни два, ни полтора .
А оно и впрямь 1,618 0339887498948482045868...
П ервое упоминание о принципе золотого сечения находим в «Началах» Евклида.
Около 400 г. до н. э. великий александрийский геометр записал удивительное наблюдение:
При среднепропорциональном делении отрезка относительно его краев весь отрезок относится к бóльшей своей части, как бóльшая к меньшей .
Речь о делении отрезка относительно его центра и краев.В общеупотребимом переводе на условный русский – деление отрезка в среднем и крайнем отношении .
Итак, золотая пропорция – точка геометрического равновесия в отношении и целого с его частями, и самих частей. А, следовательно, и некая константа, идеальная для развития объекта, системы или процесса.
СПРАВКА:
О золотом делении упоминает Платон (около 360 года до н. э.). Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора. В частности, есть здесь и такое рассуждение:
«Два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая с их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство».
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Однако термин «золотое сечение» (goldener Schnitt ) введён лишь в 1835 году немецким математиком и Мартином Омом (1792–1872). (Он был младшим братом знаменитого физика Георгия Ома.) Термин появился во втором издании учебника Мартина Ома . В 1854 году в капитальном исследовании о пропорциях человеческого тела тем же термином воспользовался физиолог Адольф Цейзинг . Символ φ (греческая буква “ phi ”) для обозначения золотого числа 1,618… впервые использовал в начале XX века американский математик Марк Барр. Сделано это было в память и честь античного скульптора Фидия, под чьим руководством возводился Парфенон.
И хотя считается, что Леонардо да Винчи делал иллюстрации к трактату Луки Пачоли «Божественная пропорция» (это как раз о золотом сечении), упоминаний об использовании им золотого сечения не обнаружено.
У золотой пропорции две формулы и два числа – мажорное (Ф ) и обратное первому – минорное (Ф 1 ):
Ф = (√5 + 1) : 2 = 1,618...
Ф 1 = 1: Ф = (√5 – 1) : 2 = 0,618...
И если Ф – решение квадратного уравнение x 2 – x – 1 = 0,
то Ф 1 – решение уравнения x 2 + x – 1 = 0 .
Умножая на число мажорного золота (Ф ), или деля на минорное золото (1: Ф ), мы получим одинаковый результат. Следовательно, Ф 1 – число, обратное Ф . и При этом не существует других чисел, которые были бы больше своего обратного ровно на единицу. И как мажорное золото на единицу больше минорного, квадрат мажорного золота на единицу больше его самого:
Ф 2 = (√5 + 3) : 2 = 2,618...
Прогрессия вида 1, Ф , Ф 2 ... Ф n – не только геометрическая, это еще и арифметический ряд, в котором каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:
Ф 2 = 1 + Ф
Ф 3 = Ф 2 + Ф
Ф 4 = Ф 3 + Ф 2
Ф 5 = Ф 4 + Ф 3
. . . . . . . . . . .
В наши дни феномен золотого сечения окружен плотным и почти непроницаемым для взгляда дилетанта облаком из паранаучных спекуляций, – начиная с мифа о том, что золотой эту пропорцию назвал Леонардо да Винчи, и заканчивая мифическими целебными свойствами построенных по «золоту» пирамид. (Однако это тема для другого разговора и отдельного исследования.)
Математическое и философское изучение «золотых» свойств продолжается уже без малого пять тысячелетий. Древнейший дошедший до наших дней «золотой» древнеегипетский памятник – гробница зодчего Хесира в Саккаре (XXVIII или XXVII век до н. э.), которую можно назвать Академией архитектурного канона, ведь здесь, в нишах галереи стояли деревянные панно с геометрическими иллюстрациями к не дошедшему до нас трактату Имхотепа об архитектуре (сейчас они хранятся в Египетском музее), и, судя по всему, Хесира (Посвященный богу Ра), это – сакральное имя самого строителя первой ступенчатой пирамиды Джосера, легендарного зодчего Имхотепа.
В плане мавзолей Хесира имеет золотую пропорцию (на что, впрочем, до сих пор внимание исследователей не обращалось).
Однако только за последние восемь веков были сделаны несколько фундаментальных открытий, значение и последствия которых, как мне представляется, до сих пор должным образом не осмыслены.
П осле выхода в 2003 г. романа Дэна Брауна «Код да Винчи» престиж всенародного золотоискательства заметно повысился. Это при том, что русском переводе романа можно прочитать буквально следующее:
– «Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения числа PHI к 1». (Ладно, пусть число Фи недопереведено и названо PHI, но откуда здесь корень, когда речь о самом Ф , то есть о 1,618...?)
– «Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки», а «соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей равно PHI». (Это на сколько же семечки одной спирали должны отстоять от ряда семечек смежной спирали? На самом деле речь должна идти о пропорции числа спиралей, разворачивающихся по часовой стрелке и против нее).
– «Измерьте расстояние от макушки до пола. Затем разделите на свой рост...» и получите, мол, Фи. (Да не Фи, а единицу, поскольку рост – это и есть расстояние от макушки до пола.)
Виноват не Браун (столь примитивных глупостей в английском тексте нет), а его русский переводчик. Но утверждение о том, «Витрувианский человек» Леонардо да Винчи (знаменитый рисунок Леонардо, где человек вписан в квадрат и круг) назначен иллюстрировать Фи-пропорции человеческого тела, – явно на совести автора оригинала, потому что никаких Фи-пропорций в этом рисунке нет, хотя и это заблуждение и кочует из одного золотого опуса в другой (и той же поддельной пробы).
Поясню: античный теоретик архитектуры Витрувий в начале третей своей книги пишет, что культовые здания должны иметь пропорции человека. И добавляет, что человеческое тело есть модель пропорций, поскольку, если человек раскинет руки и ноги, то фигура вписывается в совершенные геометрические фигуры: квадрат и круг.
Увы, не вписывается. Для этого достаточно (вслед за архитектором Игорем Шмелевым) измерить длину ног от шейки бедра (фактически от тазобедренного сустава) до стопы. И оказывается, что длина раскинутых ног Витрувианского человека короче первой пары его собственных ног почти на 1/10.
То есть, если человеческое тело и вписывается в круг, то до верха этого круга можно достать, только очень сильно подпрыгнув.
В иллюстрации Леонардо к Витрувию золотого сечения нет не потому, что пупок находится на высоте 1,64 (а не 1,62) от роста, а потому, что вся логика построения тела по Витрувию исключает золотую пропорцию. Пупок на рисунке – только центр круга, а в основе чертежа квадрат, и только он. Об этом говорят прямые горизонтальные и вертикальные штрихи, которыми Леонардо разделил руки, ноги, и тело человека: ноги – половина роста, половина от длины ног – их заколенный сгиб. Руки также сгибаются по половине длины (а длина кисти руки – 1/10 от роста).
Само тело, впрочем, поделено на три части (голова с шеей до уровня плечевого сустава; от плечевого сустава до низа ребер; от низа ребер до низа лобка).
Верхнюю точку круга Леонардо получил, прибавив к точке плечевого сустава длину руки. А потом нашел середину и сделал ее пупком.
Витрувианский человек. Рисунок Леонардо да Винчи.
Центр круга – пупок, центр квадрата – низ лобка.
Тело вписано прямоугольник,
короткая сторона которого равна в ¼ большого квадрата.
По вертикали ¼ большого квадрата дает следующие отметки:
низ груди, лобок, сгиб ног.
Пупок не на высоте золотого сечения (Н: 1,62),
а на высоте, полученной из логики членения квадрата (Н: 1,64).
Леонардо не был витрувианцем. Свое графическое рассуждение он предваряет словами: «Витрувий, архитектор, полагает…» И никаких свидетельств о сознательном использовании этим гением Возрождения золотого сечения и даже об интересе его к золотому сечению нет.
СПРАВКА:
В эпоху Возрождения (с конца 14 до середины 16 столетия) художники и ученые пытались объяснить и описать красоту в более научных терминах. Альбрехт Дюрер пытался применить математические принципы к построению идеальной женской фигуры. В результате получилась непропорциональная и совсем не красивая фигура. Тогда Дюрер в своих попытках описания красоты обратился к природе и написал четыре книги о пропорциях человеческого тела. В конце концов, Дюрер пришел к заключению, что там, где речь идет о формах, на Земле нет никого, кто мог бы судить о том, что такое абсолютно самое прекрасное.
ЕЩЕ СПРАВКА:
Альбрехт Дюрер (Albrecht Durer). Теоретик искусства. Автор трудов: «Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки» (Нюрнберг, 1525); «Четыре книги о пропорциях человека» (Нюрнберг , 1528 ).
Классик немецкого Возрождения, Альбрехт Дюрер (1471-1528) работая над гравюрой "Немезида или Большая Фортуна" (Ок. 1501) применил принципы пропорционирования Витрувия. Согласно исследованию Эрвина Панофского (1892-1968), признанного корифея европейского искусствоведения, в изображённой фигуре даже размер большого пальца согласуется с Витрувием. Но результат оказался очень далёк от классического идеала и не производил желаемого впечатления, в том числе и на самого Дюрера. В дальнейшем своём творчестве Альбрехт Дюрер от услуг Витрувия отказался, но им самим был написан трактат альтернативный труду Витрувия, полное название которого звучит так: "Здесь заключены четыре книги о пропорциях человеческого тела, найденных и описанных Альбрехтом Дюрером из Нюрнберга на пользу всем любящим таковую науку". В начале трактата Дюрер, критически осмысливший наследие Витрувия, заявляет: "…только совсем слабый разум не верит, что он может найти нечто новое, но держится всегда старого пути, следуя за другими и никогда не осмеливаясь самостоятельно думать". Дерзость у Дюрера сочетается со скромною, о которой он напоминает людям говоря: "Нет также на земле человека, который мог бы окончательно сказать, какою должна быть прекраснейшая человеческая фигура. Никто не знает этого, кроме одного Бога".
Дюрер потерпел поражение: попытка реконструировать человеческую фигуру с помощью математики не удалась.
Б ольшинство золотоносных мифов связано с тем, что названо пирамидоманией (этим заболеванием, как полагает директор Каирского музея и главный хранитель всех египетских древностей доктор Захи Хавасс, обычно страдают пирамидиоты ).
В интернете можно найти множество утверждений типа «Пирамида с пропорциями золотого сечения – это генератор жизни и средство гармонизации нашей Среды Обитания». Вот и строители российских «золотых пирамид» (не финансовых, а вполне материальных – из бетона и алюминия) объявили, что вблизи их детищ затягиваются озоновые дыры и снижается уровень правонарушений, а вес предметов изменяется в два раза.
Фригийского царя Мидаса Дионис наградил роковым даром: к чему бы царь ни прикасался, все обращалось в золото. (По другому варианту предания Аполлон одарил Мидаса ослиными ушами.) Все, к чему прикасаются потомки Мидаса, с помощью тех или иных математических преобразований обращается в пропорциональное золото. И сегодняшняя золотая лихорадка уже напоминает ту, что описана Алексеем Толстым в «Гиперболоиде инженера Гарина»: если золота больше, чем грязи, то оно само обращается в грязь.
Почему же тогда и сегодня отнюдь не все математики относятся к этому золоту, как к грязи?
Что бы ни утверждали скептики (см. статьи А. В. Радзюкевича, Е. Г. Назимко, В. С. Белянина на сайте новосибирских архтитекторов), мы можем показать, что исследование и осознанное использование золотой пропорции продолжается уже несколько тысячелетий, и извлеченную из √5гармонию прямых отрезков в XXVIII веке до н. э. изучал еще строитель первой большой египетской пирамиды зодчий Хесира. Впрочем, разговор о египетских пирамидах, Парфеноне и древнерусских храмах у нас впереди (см. 2–4 главы этой книжки), а потому не будем комкать сюжет беглым пересказом.
Говоря об использовании золотого сечения в античности, первым делом обычно ссылаются на то, что возведенный Поликтетом-младшим амфитеатр в Эпидавре вмещал 15 тысяч человек. В первом ярусе было 34 ряда, во втором 21 ряд (34: 21 = 1,62). А театральное пространство (окружность основания амфитеатра) поделено в отношении 222,5° к 137,5° (1,618...). Современный исследователь утверждает, что это соотношение углов реализовано в большинстве античных театров . Но брать это на веру это утверждение не стоит: нужны реальные обмеры и конкретные чертежи, а они, увы, не всегда доступны даже специалисту.
Сегодня золотое сечение находят в многообразии природных форм , в архитектуре, живописи и музыке , в творениях словесности . О нем написаны тысячи работ (пусть и разного достоинства). Тем более странно, что золотое сечение все равно остается загадкой – вроде как перо из хвоста Жар-птицы в руках Дурака.
Горит несамоварным огнем, переливается всеми цветами радуги...
Но где же сама птица?
Известно, что построить пропорцию золотого сечения можно с помощью линейки и циркуля. Разделим квадрат по горизонтали пополам. Проведем диагональ полуквадрата и, приняв ее за радиус, перенесем на вертикаль. Полученный прямоугольник будет прямоугольником золотого сечения
В прямоугольнике со сторонами 1 и 2 (его называют или полуквадратом, или двойным квадратом) диагональ равна √5. Если к этой величине прибавить единицу и полученный отрезок разделить пополам, то мы получим мажорное золото. Если же единицу отнять и остаток разделить на два, то золото будет минорным.
При этом надо помнить, что:
Части относятся друг к другу по удвоенному минорному золоту, когда они получены путем разделения целого на √5.
В эпоху Возрождения золотое сечение именовали «Божественной пропорцией» (Section Divine ). Принято за установленный факт, что золотым сечением (Sectio aurea ) эту пропорцию» назвал Леонардо да Винчи. При этом ссылаются на изданный в Венеции в 1509 г. трактат Луки Пачоли, посвященный свойствам плоских и пространственных фигур. Но этот труд основателя начертательной геометрии называется «De Divina Proportione» («О божественной пропорции»), и ни о каком «золоте» в нем не говорится.Иллюстрации к сочинению Пачоли, как полагают (и, вероятно, справедливо, поскольку есть свидетельство самого Пачоли), делал Леонардо да Винчи. Но собственных высказываний Леонардо на данную тему мы не знаем, что бы ни декларировал по этому поводу современный белорусский философ Эдуард Сороко .
Считают доказанным, что во многих своих произведениях Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения (в частности, их находят и «Тайной вечере», «Джоконде»). Но тут сторонники золотого сечения противоречат сами себе: если оно и впрямь – универсальный закон, то наличие его в некоем творении человеческого гения вовсе не свидетельствует о сознательном его использовании.
Термин «золотое сечение» появился лишь в 1835 году. Скорее всего, это просто ошибка памяти Мартина Ома, неточное цитирование им цветистой формулы Иоганна Кеплера (1571–1630) , который писал: «У геометрии два сокровища: одно – теорема Пифагора, другое – деление отрезка всреднепропорциональном отношении. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем».
По Кеплеру золотая пропорция должна бы называться изумрудной или сапфировой. Но поскольку самый драгоценный из камней, конечно, – философский, слов «драгоценный камень» и «мера золота» оказалось достаточным, чтобы через три столетия воспетое Кеплером сечение вполне алхимическим образом обратилось в золотое.
Лука Пачоли утверждал: «...наша пропорцияне может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной».
Из этого делают вывод, что итальянский математик нашел лишь некое приближение к золотой пропорции.
Но это ошибка.
ЗАМЕТКИ НА ПОЛЯХ
Пачоли предлагал такие формулы:
√125 – 5
–––––––
15 – √125
√180 – 6
––––––––
18 – √180
Но можно было бы обойтись и вариантом с подставленными под радикалы двузначными числами:
√20 – 2
–––––––
6 – √20
Ведь все это сводятся к записи:
√5 – 1
–––––
3 – √5
А, домножив числитель и знаменатель на (√5 + 1) : (√5 – 1) ,получим классическую запись золотого сечения:
√5 + 1
––––– = 1,618...
Лука Пачоли, видимо, не мог не понимать, к чему сводятся предложенные им равенства. Зачем же он скрыл базовую формулу и ввел потомков в искус высокомерного отношения к собственной персоне? Вряд ли найдем другое объяснение, кроме того, что De Divina Proportione для итальянского математика и впрямь была Божественной, и, потому, надо думать, на ее формулу распространялось правило не поминать имя Господа всуе. Пачоли писал: «...подобно тому, как Бог не может быть ни определен, ни словом разъяснен, наша пропорция не может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной ».
Пачоли полагал, что Божественная пропорция символизирует Троицу (Бог Отец – целый отрезок, Сын – бóльший, Дух – меньший). И смиренно оставлял следующим за ним право самостоятельно сделать столь, казалось бы, легкий и естественный шаг и самим прийти к открытию той Тайны, которая так потрясла все его существо и к которой он подвел своего читателя практически вплотную.
П ервые работы, специально посвященные золотому сечению, вышли в конце XVIII столетия. А в серединеXIX века немецкий профессор издал Адольф Цейзинг капитальное «Новое учение о пропорциях тела человека, из остающихся до сих пор непознанных морфологических основ, пронизывающих всю природу и искусство» . В 1855 г. труд Цейзинга был переиздан под названием «Эстетические исследования».
Цейзинг считал, что все в мире можно объяснить золотой пропорцией и рассматривал ее в качестве основного морфологического закона природы и искусства. Он сам сделал тысячи обмеров и показал, что этот закон работает и в пропорциях тела человека и в телах «красивых животных». Немецкий физиолог Густав Фехнер попытался обосновать выводы Цейзинга и обнаружил связь психофизических особенностей восприятия человека и «золотыми» формами вещей . Процитирую из работы Евгения Скляревского: «Фехнер измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные основания, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от золотых пропорций. Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытываемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различными соотношениями сторон, нарисовать самый «приятный» многоугольник, выбрать место перекладины и т.д. Многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к Ф».
В 1958 г. в Англии по методу Фехнер а был поставлен опыт: из набора прямоугольников испытуемым предлагалось выбрать те, которые они сочтут самыми красивыми. И большинство (35%) указали на золотой прямоугольник, со сторонами 34:21. (Интересно, что тот же опыт, дал совершенно иные результаты в детской аудитории, из чего делается вывод, что у ребенка совсем иные представление о красивом и гармоничном.)
Выражение «золотая середина» – это не о середине, а о золотой пропорции.
А мериканец Марк Барр, век назад предложивший обозначать число 1,618… греческой буквой Фи, попал в яблочко. (В XXI веке говорим Фидий – подразумеваем Фибоначчи.) В первой половине XX века, изучая числа Фибоначчи, к неожиданным открытиям приходят голландский математик Абрахам Витгоф, автор теории «игры Витгофа», впервые описанной им в 1905 г., и бельгийскй математик Эдуард Цекендорф. В 1939 г. Цекендорф опубликовал статью, в которой доказал теорему о том, что каждое положительное целое число имеет единственное представление в виде суммы чисел Фибоначчи, в которой два соседних числа Фибоначчи не используются (пример: 30 = 21 + 8 + 1).
В 1957 г. двенадцатилетний (так! – А. Ч. ) американский математик Джордж Бергман в журнале «Mathematics Magazine» опубликовал статью «Система счисления с иррациональны основанием» , в которой предложил в качестве основания системы счисления использовать золотое число 1,618.... Поскольку, возведенная в степень n , золотая пропорция может быть выражена в виде суммы двух предыдущих степеней, то система Бергмана позволяет делать коррекцию ошибок в аналого-цифровых преобразователях и приводит самосинхронизация кодовых последовательностей при передаче сигнала по каналу связи. (Ныне вчерашний вундеркинд – маститый профессор кафедры математики в Калифорнийском университете, автор двух математических книг, написанных, впрочем, в соавторстве.)
В1963 г. по инициативе американского математика Вернера Хоггатаи ученого монаха Альфреда Бруссау в США была создана математическая Фибоначчи-Ассоциация («The Fibonacci Quarterly»), которая ежеквартально издает математический журнал The Fibonacci Quarterly. В 1969 г. издательство «Houghton Mifflin» выпустило книгу Вернера Хоггата «Числа Фибоначчм и Люка» (Fibonacci and Lucas Numbers» . А Бруссау был не только монахом, но и фанатичным фотографом: он оставил человечеству снимки двадцати тысяч дикорастущих растений Калифорнии.
В 1969 г., опираясь теорему Цекендорфа , работы американского математика Джулии Робинзон и еще одну теорему, доказанную в 1942 г. советским математиком Николаем Воробьевым , двадцатидвухлетний студент матмеха Ленинградского университета Юрий Матиясевич нашел решение знаменитой в среде математиков 10-й проблемы Гильберта (задача о разрешении Диафантовых уравнений).
В последней трети XX столетия идеи Бергмана и Брусенцова развивает завкафедрой информатики Винницкого государственного аграрного университета А. П. Стахов (с 2004 г. живет в Канаде) .
В 1990 г. сотрудником фирмы IBM французский исследователь Жан Перез (Jean-Claude Perez) открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК представляет собой пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи.
Исследователь назвал это «ДНК SUPRA-кодом» . А. П. Стахов пишет по этому поводу:
«Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа Т, С, А, G , и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С и G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода образует резонанс , то есть, резонанс есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). Открытие состоит в том, что каждая ДНК образует множество резонансов рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи F n , разбиваются золотым сечением на множество оснований типа Т (число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно F n- 2) и суммарное множество остальных оснований (число которых равно F n- 1). Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество резонансов , называемое SUPRA-кодом ДНК . Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами, в частности профессорами Montagnier and Chermann, исследовавшими ДНК вируса СПИДа» .
Позволим себе еще одну цитату:
«В настоящее время числа Фибоначчи усиленно изучаются бизнесменами и экономистами. Замечено, что волны, описывающие колебания котировок ценных бумаг, являются огибающими маленьких волн, те, в свою очередь, еще более мелких, а количество мелких колебаний в периоде более крупного соответствует ряду Фибоначчи. Впервые это предложил инженер Ральф Hельсон Эллиотт. После серьезной болезни в начале 1930-х он занялся анализом биржевых цен, особенно индекса Доу-Джонса. После ряда весьма успешных предсказаний Эллиотт опубликовал в 1939 году серию статей в журнале Financial World Magazine. В них впервые была представлена его точка зрения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются определенным ритмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и приливы – за приливом следует отлив, за действием (акцией) следует противодействие (реакция). Эта схема не зависит от времени, поскольку структура рынка, взятого как единое целое, остается неизменной. Он писал: "Любoй человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, – и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи”. Если вы разберетесь с числами Фибоначчи и волнами Эллиота, то можете разбогатеть, играя на бирже ценных бумаг» .
По Эллиоту закон волн – это модель развития и упадка, и соотношения между волнами базируются на числах, полученных из ряда Фибоначчи и, в частности, на золотом сечении.
В книге «Закон природы – секрет Вселенной», вышедшей в 1946 году, Ральф Нельсон Эллиот утверждает, что его теория охватывает не только поведение фондовых индексов, но и более общие законы природы, управляющие деятельностью человеческого общества .
Эллиот сводит развитие общества к десятку типов моделей движения («волн»), повторяющихся по форме, но не по времени или амплитуде. Согласно теории Эллиота, движение происходит по «старому доброму принципу» три шага вперед два шага назад и волны разделяются на импульсные (вперед) и корректирующие (назад). Базисной является пятиволновая модель, все остальные могут быть выделены из нее.
Но почему тогда волны Эллиота располагаются где-то на маргинальной периферии экономической науки?Известно, что «девять из десяти трейдеров отказываются от применения волн Эллиота, утверждая, что он никогда не срабатывает». Подсчитано, что около 65% анализа по волнам Эллиота состоит из столь запутанных правил, что десять аналитиков дадут десять разных прогнозов. Вот и заголовок интернетовской статьи экономиста Константина Царихина звучит на удивление знакомо: «Сеанс волновой магии с ее полным разоблачением ».
Царихин пишет:
«Автор настоящей статьи не согрешит против правды, если скажет, что любой аналитик, проработавший на рынке более-менее продолжительное время, может подобрать «на заказ» огромное количество графиков с практически любым волновым рисунком. Практика, таким образом, выносит свой вердикт, который, возможно, и огорчит особо рьяных приверженцев теории Эллиота. Этот вердикт звучит так: частный случай. Лягушка, раздувшаяся до размеров быка, увы, лопнула. Чтобы предсказать будущее надо … Трудно сказать, что для этого надо сделать, но уж точно можно сказать, что разбивать график на волны не надо. Все равно это уведет исследователя в сторону» .
Как заметил аналитик «Альфа-банка» Владимир Кравчук: «...оптимизированные технические инструменты, хорошо работающие в прошлом, могут плохо работать или вовсе не работать в будущем».
Интересные факты о "золотом сечении"
Золотое сечение это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве - во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.
Определение
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина - 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
История
Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой - Отца, а целое - Святой дух.
Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.
Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.
Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.
Природа
Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.
Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.
Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.
Человек
Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек - это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.
В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.
Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела - 8:5.
Искусство пространственных форм
Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика». Долгое время художники следователи этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.
Искусствовед Ф. В. Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна будь-то камин, этажерка, кресло или сам поэт строго вписаны в золотые пропорции.
Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.
И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.
Слово, звук и кинолента
Формы временно̀го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи - 5, 8, 13, 21, 34.
Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) - это и есть точка золотого сечения.
Советский музыковед Э. К. Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.
Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух - в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.
Тарас Репин
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Золотое сечение - гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d .Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части - АВ : АС = АВ : ВС ;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС .
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а .
Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB ; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ . Полученная точка С соединяется линией с точкой А . На полученной линии откладывается отрезок ВС , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую АВ . Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x 2 - x - 1 = 0.
Решение этого уравнения:
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Второе золотое сечение
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.
Рис. 3. Построение второго золотого сечения
Деление осуществляется следующим образом (см. рис.3). Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD . Радиусом АВ находится точка D , которая соединяется линией с точкой А . Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD . Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.
Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
На рис. 4 показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Золотой треугольник
Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой .Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА . Перпендикуляр к радиусу ОА , восставленный в точкеО , пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Рис. 6. Построение золотого треугольника
Проводим прямую АВ . От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ , на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О . Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой А . Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку С . Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
Рис. 7. Динамические прямоугольники
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению названиезолотое сечение . Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m , рядом откладываем отрезок M . На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».
Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
Ряд Фибоначчи
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф . Только это отношение - 0,618: 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
Обобщенное золотое сечение
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.
Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?
Действительно, зададимся числовым параметром S , который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n -й член этого ряда мы обозначим через φ S (n ), то получим общую формулу φ S (n ) = φ S (n - 1) + φ S (n - S - 1).
Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 - ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S -чисел Фибоначчи.
В общем виде золотая S -пропорция есть положительный корень уравнения золотого S -сечения x S+1 - x S - 1 = 0.
Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S -чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S -пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S -сечения являются числовыми инвариантами S -чисел Фибоначчи.
Факты, подтверждающие существование золотых S -сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S -пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотыеS -сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики - новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.
С помощью кодов золотой S -пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S -пропорций с целыми коэффициентами.
Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S -пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения - числа рациональные. И лишь позже - после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков - на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа - 10, 5, 2, - из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.
Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.
В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной - а не бесконечной, как думали ранее! - суммы степеней любой из золотых S -пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.
Принципы формообразования в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.
Рис. 12. Спираль Архимеда
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Рис. 13. Цикорий
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Рис. 14. Ящерица живородящая
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Рис. 15. Яйцо птицы
Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.
Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.
Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Золотое сечение и симметрия
Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление - это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия . Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.