Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.
Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.
Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .
Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.
В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.
Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.
Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm
и pp
. При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.
Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm
и pp
, но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm
и pp
поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.
Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).
Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).
Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y
от нейтральной поверхности. ρ
– радиус кривизны изогнутой оси. Точка O
– центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1
параллельно mm
. ss 1
– абсолютное удлинение волокна.
Относительное удлинение ε x волокна
Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .
Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением
, а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением
, как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z
:
μ – коэффициент Пуассона.
Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим
Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения
Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2
. Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ
– две неизвестные в уравнении для σ
x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M
.
Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .
Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.
Изгибом называется деформация стержня, сопровождающаяся изменением кривизны его оси. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой .
В зависимости от способов приложения нагрузки и способов закрепления стержня могут возникать различные виды изгиба.
Если под действием нагрузки в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент, то изгиб называют чистым .
Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, то изгиб называют поперечным .
 |
|||
Если внешние силы лежат в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб называется простым или плоским . В этом случае нагрузка и деформируемая ось лежат в одной плоскости (рис. 1).
Рис. 1
Чтобы балка могла воспринимать нагрузку в плоскости, она должна быть закреплена с помощью опор: шарнирно-подвижной, шарнирно-неподвижной, заделкой.
Балка должна быть геометрически неизменяемой, при этом наименьшее количество связей равно 3. Пример геометрически изменяемой системы приведен на рис.2а. Пример геометрически неизменяемых систем – рис. 2б, в.
а) б) в)
В опорах возникают реакции, которые определяются из условий равновесия статики. Реакции в опорах являются внешними нагрузками.
Внутренние усилия при изгибе
Стержень, нагруженный силами перпендикулярными продольной оси балки, испытывает плоский изгиб (рис. 3). В поперечных сечениях возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q y и изгибающий момент М z .
Внутренние усилия определяются методом сечений. На расстоянии x от точки А плоскостью перпендикулярной оси X стержень рассекается на два участка. Отбрасывается одна из частей балки. Взаимодействие частей балки заменяется внутренними усилиями: изгибающим моментом M z и поперечной силой Q y (рис. 4).
Внутренние усилия M z и Q y в сечение определяются из условий равновесия.
Составляется уравнение равновесия для части С :
∑y = R A – P 1 – Q y = 0.
ТогдаQ y = R A – P 1 .
Вывод. Поперечная сила в любом сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведённого сечения. Поперечная сила считается положительной, если вращает стержень относительно точки сечения по часовой стрелке.
∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a ) – M z = 0
Тогда M z = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a )
1. Определение реакций R A , R B ;
∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0
R B =
∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0
2. Построение эпюр на первом участке 0 ≤ x 1 ≤ a
Q y = R A = ; M z = R A ∙ x 1
x 1 = 0 M z (0) = 0
x 1 = a M z (a) =
3. Построение эпюр на втором участке 0 ≤ x 2 ≤ b
Q y = - R B = - ; M z = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 M z (0) = 0 x 2 = b M z (b ) =
При построении M z положительные координаты будут откладываться в сторону растянутых волокон.
Проверка эпюр
1. На эпюре Q y разрывы могут быть только в местах приложения внешних сил и величина скачка должна соответствовать их величине.
+
=
=
P
2. На эпюре M z разрывы возникают в местах приложения сосредоточенных моментов и величина скачка равна их величине.
Дифференциальные зависимости между M , Q и q
Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки установлены зависимости:
q = , Q y =
где q – интенсивность распределённой нагрузки,
Проверка прочности балок при изгибе
Для оценки прочности стержня при изгибе и подбора сечения балки используются условия прочности по нормальным напряжениям.
Изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент нормальных внутренних сил, распределённых по сечению.
s = ×y ,
где s – нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения,
y – расстояние от центра тяжести сечения до точки,
M z – изгибающий момент, действующий в сечении,
J z – осевой момент инерции стержня.
Для обеспечения прочности рассчитываются максимальные напряжения, которые возникают в точках сечения, наиболее удалённых от центра тяжести y = y max
s max = ×y max ,
= W z и s max = .
Тогда условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
s max = ≤ [s],
где [s] – допускаемое напряжение при растяжениях.
Чистым изгибом называется такой вид изгиба, при котором имеет место действие только изгибающего момента (рис. 3.5, а). Мысленно проведем плоскость сечения I-I перпендикулярно продольной оси балки на расстоянии * от свободного конца балки, к которому приложен внешний момент m z . Осуществим действия, аналогичные тем, которые были выполнены нами при определении напряжений и деформаций при кручении, а именно:
- 1) составим уравнения равновесия мысленно отсеченной части детали;
- 2) определим деформацию материала детали исходя из условий совместности деформаций элементарных объемов данного сечения;
- 3) решим уравнения равновесия и совместности деформаций.
Из условия равновесия отсеченного участка балки (рис. 3.5, б)
получим, что момент внутренних сил M z равен моменту внешних сил т: М = т.
Рис. 3.5.
Момент внутренних сил создается нормальными напряжениями o v , направленными вдоль оси х. При чистом изгибе нет внешних сил, поэтому сумма проекций внутренних сил на любую координатную ось равна нулю. На этом основании запишем условия равновесия в виде равенств
где А - площадь поперечного сечения балки (стержня).
При чистом изгибе внешние силы F x , F, F v а также моменты внешних сил т х, т у равны нулю. Поэтому остальные уравнения равновесия тождественно равны нулю.
Из условия равновесия при о^О следует, что
нормальные напряжение с х в поперечном сечении принимают как положительные, так и отрицательные значения. (Опыт показывает, что при изгибе материал нижней стороны бруса на рис. 3.5, а растянут, а верхней - сжат.) Следовательно, в поперечном сечении при изгибе есть такие элементарные объемы (переходного слоя от сжатия к растяжению), в которых удлинение или сжатие отсутствует. Это - нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией.
Условия совместности деформаций элементарных объемов при изгибе формируется на основе гипотезы плоских сечений: плоские до изгиба поперечные сечения балки (см. рис. 3.5, б) останутся плоскими и после изгиба (рис. 3.6).
В результате действия внешнего момента брус изгибается, а плоскости сечений I-I и II-II поворачиваются друг относительно друга на угол dy (рис. 3.6, б). При чистом изгибе деформация всех сечений вдоль оси балки одинакова, поэтому радиус р к кривизны нейтрального слоя балки вдоль оси х один и тот же. Так как dx = р K dip, то кривизна нейтрального слоя равна 1 / р к = dip / dx и постоянна по длине балки.
Нейтральный слой не деформируется, его длина до и после деформации равна dx. Ниже этого слоя материал растянут, выше - сжат.
Рис. 3.6.
Значение удлинения растянутого слоя, находящегося на расстоянии у от нейтрального, равно ydq. Относительное удлинение этого слоя:
Таким образом, в принятой модели получено линейное распределение деформаций в зависимости от расстояния данного элементарного объема до нейтрального слоя, т.е. по высоте сечения балки. Полагая, что нет взаимного надавливания параллельных слоев материала друг на друга (о у = 0, а, = 0), запишем закон Гука для линейного растяжения:
Согласно (3.13) нормальные напряжения в поперечном сечении балки распределены по линейному закону. Напряжение элементарного объема материала, наиболее удаленного от нейтрального слоя (рис. 3.6, в
), максимально и равно
? Задача 3.6
Определить предел упругости стального клинка толщиной / = 4 мм и длиной / = 80 см, если его изгиб в полуокружность не вызывает остаточной деформации.
Решение
Напряжение при изгибе o v = Еу / р к. Примем y max = t / 2и р к = / / к.
Предел упругости должен соответствовать условию с уп > c v = 1 / 2 кЕ t /1.
Ответ: о = ] / 2 к 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 МПа; предел текучести этой стали а т > 1800 МПа, что превышает а т самых прочных пружинных сталей. ?
? Задача 3 .7
Определить минимальный радиус барабана для намотки ленты толщиной / = 0,1 мм нагревательного элемента из никелевого сплава, при котором материал ленты пластически не деформируется. Модуль Е= 1,6 10 5 МПа, предел упругости о уп = 200 МПа.
Ответ: минимальный радиус р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 м. ?
1. При совместном решении первого уравнения равновесия (3.12) и уравнения совместности деформаций (3.13) получим
Значение Е / р к ф 0 и одинаково для всех элементов dA площади интегрирования. Следовательно, данное равенство удовлетворяется только при условии
Этот интеграл называют статическим моментом площади поперечного сечения относительно оси z? Каков физический смысл этого интеграла?
Возьмем пластинку постоянной толщины /, но произвольного профиля (рис. 3.7). Подвесим эту пластинку в точке С так, чтобы она находилась в горизонтальном положении. Обозначим символом у м удельный вес материала пластинки, тогда вес элементарного объема площадью dA равен dq = уJdA. Так как пластинка находится в состоянии равновесия, то из равенства нулю проекций сил на ось у получим
где G = у M tA - вес пластинки.
Рис. 3.7.
Сумма моментов сил всех сил относительно оси z , проходящей в любом сечении пластинки, также равна нулю:
Учитывая, что Y c = G, запишем
Таким образом, если интеграл вида J xdA по площади А равен
нулю, то х с = 0. Это означает, что точка С совпадает с центром тяжести пластинки. Следовательно, из равенства S z = J ydA = 0 при из-
гибе следует, что центр тяжести поперечного сечения балки находится на нейтральной линии.
Следовательно, значение у с поперечного сечения балки равно нулю.
- 1. Нейтральная линия при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.
- 2. Центр тяжести поперечного сечения является центром приведения моментов внешних и внутренних сил.
Задача 3.8
Задача 3.9
2. При совместном решении второго уравнения равновесия (3.12) и уравнения совместности деформаций (3.13) получим
Интеграл J z = J y 2 dA называется моментом инерции поперечного
сечения балки (стержня) относительно оси z, проходящей через центр тяжести поперечного сечения.
Таким образом, M z = Е J z / р к. Учитывая, что с х = Ее х = Еу / р к и Е / р к = а х / у, получим зависимость нормальных напряжений о х при изгибе:
1. Напряжение изгиба в данной точке сечения не зависит от модуля нормальной упругости Е, но зависит от геометрического параметра поперечного сечения J z и расстояния у от данной точки до центра тяжести поперечного сечения.
2. Максимальное напряжение при изгибе имеет место в элементарных объемах, наиболее удаленных от нейтральной линии (см. рис. 3.6, в):
где W z - момент сопротивления поперечного сечения относительно оси Z-
Условие прочности при чистом изгибе аналогично условию прочности при линейном растяжении:
где [а м | - допускаемое напряжение при изгибе.
Очевидно, что внутренние объемы материала, особенно вблизи нейтральной оси, практически не нагружены (см. рис. 3.6, в). Это противоречит требованию минимизировать материалоемкость конструкции. Ниже будут показаны некоторые способы преодоления данного противоречия.
Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.
Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.
Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.
Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.
При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым .
Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.
Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.
Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений , а момент М – сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.
Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость
которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие й или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.
Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения
1) Выполняется гипотеза плоских сечений.
2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.
3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.
5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.
6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения , определяемые по формуле:
где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.
Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.
Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии
Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии
Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.
Выберем некоторое сечение
Для любой точки сечения,назовем ее точкой К , условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:
, где н.о. — это нейтральная ось
это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.
Условие прочности по нормальным напряжениям:
Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.
Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие.
При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные , так и касательные напряжения.
Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям.
10. ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
10.1. Общие понятия и определения
Изгиб – это такой вид нагружения, при котором стержень загружен моментами в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня.
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой (или брусом). В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.
В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.
Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).
Главными плоскостями инерции балки называют плоскости, проходящие через главные оси поперечных сечений и геометрическую ось балки (ось x ).
Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.
Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.
10.2. Определение внутренних усилий при изгибе
Рассмотрим два характерных случая изгиба: в первом – консольная балка изгибается сосредоточенным моментом M o ; во втором – сосредоточенной силой F .
Используя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей балки, определим внутренние усилия в том и другом случае:
Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.
Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два – изгибающий момент М z и поперечная сила Q y (или при изгибе относительно другой главной оси – изгибающий момент М y и поперечная сила Q z ).
При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.
Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент (см. первый случай).
Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).
Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.
При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:
1) поперечная сила Q y считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;
2) изгибающий момент М z считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).
Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану: 1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем, если это необходимо, неизвестные реакции опор (отметим, что для консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматривать балку со свободного конца); 2) на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки; 3) на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.
10.3. Дифференциальные зависимости при изгибе
Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M , знание которых облегчит построение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M ≡ M z , Q ≡ Q y .
Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dx . Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dx будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q и M в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dx будут возникать поперечные силы Q и Q +dQ , а также изгибающие моменты M и M +dM . Из условия равновесия выделенного элемента получим
∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;
∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.
Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q ·dx ·(dx /2) как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем
Соотношения (10.1), (10.2) и (10.3) называют дифференциальными зависимостями Д. И. Журавского при изгибе.
Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:
а – на участках, где нет распределенной нагрузки q , эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми;
б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q , эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами. При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость па-
раболы будет направлена по направлению действия q , а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию;
в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпю-
ре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q >0, момент М возрастает, а на участках, где Q <0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса
Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.
Таких гипотез при изгибе три:
а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)
– сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;
б – гипотеза о постоянстве нормальных напряже-
ний – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – со-
седние продольные волокна не давят друг на друга.