Прямой изгиб плоский поперечный изгиб. Чистый изгиб Что такое поперечный изгиб балки

10.1. Общие понятия и определения

Изгиб – это такой вид нагружения, при котором стержень загружен моментами в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня.

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой (или брусом). В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

Главными плоскоcтями инерции балки называют плоскости, проходящие через главные оси поперечных сечений и геометрическую ось балки (ось x).

Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

10.2. Определение внутренних усилий при изгибе

Рассмотрим два характерных случая изгиба: в первом – консольная балка изгибается сосредоточенным моментом Mo; во втором – сосредоточенной силой F.

Используя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей балки, определим внутренние усилия в том и другом случае:

Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.

Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два – изгибающий момент Мz и поперечная сила Qy (или при изгибе относительно другой главной оси – изгибающий момент Мy и поперечная сила Qz).

При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.

Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент (см. первый случай).

Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).

Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.

При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:

1) поперечная сила Qy считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;

2) изгибающий момент Мz считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).

Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану: 1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем, если это необходимо, неизвестные реакции опор (отметим, что для консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматривать балку со свободного конца); 2) на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки; 3) на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.

10.3. Дифференциальные зависимости при изгибе

Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M, знание которых облегчит построение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M≡Mz, Q≡Qy.

оси балки, то в сечениях элемента dx будут возникать поперечные силы Q и Q+dQ, а также изгибающие моменты M и M+dM. Из условия равновесия выделенного элемента получим

Первое из двух записанных уравнений дает условие

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q·dx·(dx/2) как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем

Рассматривая выражения (10.1) и (10.2) совместно можем получить

Соотношения (10.1), (10.2) и (10.3) называют дифференциальными зависимостями Д. И. Журавского при изгибе.

Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил: а – на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми; б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами.

При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость параболы будет направлена по направлению действия q, а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию; в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q>0, момент М возрастает, а на участках, где Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая.

Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависи-мость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

б – гипотеза о постоянстве нормальных напряжений – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Статическая сторона задачи

Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях балки, рассмотрим, прежде всего, статическую сторон у задачи. Применяя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченной части балки, найдем внутренние усилия при изгибе. Как было показано ранее, единственным внутренним усилием, действующим в сечении бруса при чистом изгибе, является внутренний изгибающий момент, а значит здесь возникнут связанные с ним нормальные напряжения.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений на элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении A балки в точке с координатами y и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):

Как видим, задача является внутренне статически неопределимой, так как неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернуться относительно нейтральной оси (н.о.) на угол dϕ, при этом волокно ab, отстоящее от нейтральной оси на расстояние y, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину. Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется, а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ρ) имеет ту же длину, что и отрезок a0b0 до деформации a0b0=dx.

Найдем относительную линейную деформацию εx волокна ab изогнутой балки:

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией , параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок , равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок , равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Прогиб балки Y - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Угол поворота сечения - угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина .

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и расположенные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают деформацию, называемую попереч-ным изгибом . Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называется косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно изгибу, называется балкой 1 .

По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изгиба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ х , выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.

1 Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой . Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью . Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной .

Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.

При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, равную qdx . Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.

а б в

Рис. 10.5 Рис. 10.6

В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.

Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху ) нормальные напряжения вычисляются по формуле

σ х = – [М z (x )/I z ]y .

Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a"b" , не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.

Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.

Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z , разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-

ние шириной b . В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:

N * - (N * +dN *)+

где: N * - равнодействующая нормальных сил σв левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А * (рис. 10.7 г):

где: S=- статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:

Тогда можно записать:

Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.

Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:

Определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;

Вычислить момент инерции I z всего сечения;

Провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b ;

Вычислить статический момент отсеченной площади Sотносительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:

Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y =и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.

Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем.

Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки. Вычислим балки по формуле:

n = ΣR - Ш — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной . За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — R В .

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию R В (рис.в ).

Однако для эквивалентности этого недостаточно , поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали , а в заданной балке (рис.а ) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие , что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0 . Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки Δ F и от прогиба от «лишней» реакции Δ R .

Тогда составляем условие совместности перемещений :

Δ F + Δ R =0 (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы ).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру М F (рис. д ).

В т.В приложим и построим эп. (рис.е,ж ).

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки .

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции R В , для этого загружаем основную систему R В (рис.з ) и строим эпюру моментов от ее действия М R (рис. и ).

Составляем и решаем уравнение (1) :

Построим эп. Q и М (рис. к,л ).

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек . Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A ), сосредоточенного момента (B ), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — .

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M . Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия .

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М ) и поперечных сил (Q ).

Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В .

Составляем уравнения равновесия .

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему .

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения .

сеч. 1-1 ход слева .

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой , отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см.

Строим по найденным значением эпюру Q .

сеч. 2-2 ход справа .

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q .

сеч. 3-3 ход справа .

сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q .

3. Построение эпюры М методом характерных точек .

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В , С , D , а также точка К , в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум . Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е , поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов . Правило знаков — см. .

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D . Сам момент в эти выражения не входит . В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q =0). Однако сначала определим положение точки К , обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х .

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0 , а z 2 равняется неизвестному х .

Получаем уравнение:

Теперь, зная х , определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М . Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции .

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0 , в заделеке — величине реакции R A.
3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз.

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Строим эпюру М.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении . Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула ,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:

Покажем балку с построенными эпюрами Q и М

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором М С =М max =48,3кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σ max =M C /W X ≤σ adm . Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.

Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:

Для сечения в виде двух швеллеров согласно принимаем два швеллера №20а , момент инерции каждого швеллера I x =1670см 4 , тогда осевой момент сопротивления всего сечения:

Перенапряжение (недонапряжение) в опасных точках посчитаем по формуле: Тогда получим недонапряжение :

Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям. Согласно эпюре поперечных сил опасными являются сечения на участке ВС и сечение D. Как видно из эпюры, Q max =48,9 кН.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

Для швеллера №20 а: статический момент площади S x 1 =95,9 см 3 , момент инерции сечения I x 1 =1670 см 4 , толщина стенки d 1 =5,2 мм, средняя толщина полки t 1 =9,7 мм, высота швеллера h 1 =20 см, ширина полки b 1 =8 см.

Для поперечного сечения из двух швеллеров:

S x = 2S x 1 =2·95,9=191,8 см 3 ,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 см 4 ,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 см.

Определяем значение максимального касательного напряжения:

τ max =48,9·10 3 ·191,8·10 −6 /3340·10 −8 ·1,04·10 −2 =27МПа.

Как видно, τ max <τ adm (27МПа<75МПа).

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверяем прочность балки по энергетическому критерию .

Из рассмотрения эпюр Q и М следует, что опасным является сечение С, в котором действуют M C =M max =48,3 кНм и Q C =Q max =48,9 кН.

Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С

Определим нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения)

Уровень 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Уровень 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Главные напряжения:

Уровень 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Нормальные и касательные напряжения: