В телах, находящихся в покое или движутся под действием нагрузок.

1. Задача теории упругости

Задачей этой теории есть запись математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы:

какими будут деформации конкретного тела, если к нему приложить в известных местах погрузки заданной величины?
какими будут при этом напряжение в теле?

Вопрос, тело разрушится, выдержит эти нагрузки, тесно связанные с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в его компетенцию.

Примеров можно привести множество - от определения деформаций и напряжений в нагруженной балке на опорах, в расчет этих же параметров в корпусе самолета, ракеты, подлодки, в колесе вагона в броне танка при ударе снаряда, в горном массиве при прокладке штольни, в каркасе высотного здания и так далее.

Для случая инженерных задач, напряжения и деформации в конструкциях рассчитывают по упрощенным теориям, логически базируются на теории упругости. К таким теориям относятся: сопротивление материалов , задачей которого является расчет стержней и балок , а также оценка напряжений, возникающих в зонах контактного взаимодействия твердых тел; строительная механика - расчет стержневых систем (например, мостов), и теория оболочек - самостоятельная и хорошо развитая отрасль науки о деформации и напряжения, предметом исследования которой является тонкостенные оболочки - цилиндрические, конические, сферические, и сложные формы.

2. Основные понятия теории упругости

Основными понятиями теории упругости является напряжение, действующих на малых площинках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку P, деформации малой окрестности точки P и перемещения самой точки P. Точнее говоря, вводятся тензор механических напряжений , Тензор малых деформаций и вектор перемещения u i. Краткое обозначение , Где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 (или x, y, z) следует понимать как матрицу в видах:

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора .

Если физическое точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве P ", то вектор перемещения является вектор с компонентами (u x, u y, u z), или, сокращенно, u i. В теории малых деформаций компоненты u i и считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора , Который также называется тензор деформации Коши или линейный тензор деформации и вектора u i связаны зависимостями:

С последней записи видно, что , Поэтому тензор деформации является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, приводимые к виду:

Это равенство означает, что тензор напряжений является симметричным тензор и число неизвестных компонент тензора напряжений сводится к 6. Есть только три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения через деформации с помощью уравнений закона Гука , а затем деформации выразить через перемещения u i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнение равновесия. При этом получается три дифференциальные уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u x u y u z, т.е. число неизвестных будет соответствовать числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Навье-Коши.

3. Граничные условия

Решение задач теории упругости сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющие поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия определяют задания или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно формулируют один из трех типов краевых задач.

Первая краевая задача - кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, приобретают на поверхности определенных значений. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнения поверхности и значения составляющих перемещений на ней.

Вторая краевая задача - статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещение и задаются уравнения поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок.

В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, граничные условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на ней.

Третья краевая задача - смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой - статические.

Этими тремя задачами не исчерпывается все разнообразие граничных условий. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.

4. Смотри также

Источники

Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

В главах 4-6 были выведены основные уравнения теории упругости, устанавливающие законы изменения напряжений и деформаций в окрестности произвольной точки тела, а также соотношения, связывающие напряжения с деформациями и деформации с перемещениями. Приведем полную систему уравнений теории упругости в декартовых координатах.

Уравнения равновесия Навье:

Соотношения Коши:

Закон Гука (в прямой и обратной формах):

Напомним, что здесь е = е х + е у + e z - относительная объемная деформация, а по закону парности касательных напряжений Xj. = Tj; и соответственно у~ = ^ 7 . Входящие в (16.3, а) постоянные Ляме определяются по формулам (6.13).

Из приведенной системы видно, что она включает 15 дифференциальных и алгебраических уравнений, содержащих 15 неизвестных функций (6 компонент тензора напряжений, 6 компонент тензора деформаций и 3 компоненты вектора перемещения).

В силу сложности полной системы уравнений нельзя найти общее решение, которое было бы справедливо для всех задач теории упругости, встречающихся на практике.

Существуют различные способы уменьшения количества уравнений, если в качестве неизвестных функций принять, например, только напряжения или перемещения.

Если, решая задачу теории упругости, исключить из рассмотрения перемещения, то вместо соотношений Коши (16.2) можно получить уравнения, связывающие между собой компоненты тензора деформаций. Продифференцируем деформацию г х, определяемую первым равенством (16.2), два раза по у, деформацию г у - два раза по х и сложим полученные выражения. В результате получим

Выражение, стоящее в скобках, согласно (16.2) определяет угловую деформацию у. Таким образом, последнее равенство можно записать в виде

Аналогично можно получить еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют первую группу уравнений совместности деформаций Сен-Венана:

Каждое из равенств (16.4) устанавливает связь между деформациями в одной плоскости. Из соотношений Коши могут быть также получены условия совместности, связывающие деформации в разных плоскостях. Продифференцируем выражения (16.2) для угловых деформаций следующим образом: у - по z у - по х;

По у; сложим два первых равенства и вычтем третье. В результате получим

Дифференцируя это равенство по у и учитывая, что,

приходим к следующему соотношению:

С помощью круговой подстановки получим еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют вторую группу уравнений совместности деформаций Сен-Венана:

Уравнения совместности деформаций называются также условиями сплошности или неразрывности. Эти термины характеризуют тот факт, что при деформировании тело остается сплошным. Если представить тело состоящим из отдельных элементов и принять деформации е х, у в виде произвольных функций, то в деформированном состоянии из этих элементов не удастся сложить сплошное тело. При выполнении условий (16.4), (16.5) перемещения границ отдельных элементов будут таковы, что тело и в деформированном состоянии останется сплошным.

Таким образом, одним из способов сокращения количества неизвестных при решении задач теории упругости является исключение из рассмотрения перемещений. Тогда вместо соотношений Коши в полную систему уравнений будут входить уравнения совместности деформаций Сен-Венана.

Рассматривая полную систему уравнений теории упругости, следует обратить внимание на то, что она практически не содержит факторов, определяющих напряженно-деформированное состояние тела. К таким факторам относятся форма и размеры тела, способы его закрепления, действующие на тело нагрузки, за исключением объемных сил X, Y, Z.

Таким образом, полная система уравнений теории упругости устанавливает лишь общие закономерности изменения напряжений, деформаций и перемещений в упругих телах. Решение же конкретной задачи может быть получено, если заданы условия нагружения тела. Это дается в граничных условиях, которые и отличают одну задачу теории упругости от другой.

С математической точки зрения также понятно, что общее решение системы дифференциальных уравнений включает в себя произвольные функции и постоянные, которые и должны быть определены из граничных условий.

4. СТРОЕНИЕ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ СЕЙСМОЛОГИИ

Основы теории упругости: тензор деформации, тензор напряжений, закон Гука, упругие модули, однородные деформации, упругие волны в изотропной среде, законы Ферма, Гюйгенса, Снеллиуса. Сейсмические волны. Развитие сейсмометрических наблюдений: сейсмические станции и их сети, годографы, траектории волн внутри Земли. Определение скорости распространения сейсмических волн с помощью уравнения Гертлоца-Вихерта. Скорости продольных и поперечных волн как функции радиуса Земли. Состояние вещества Земли по данным сейсмологии. Земная кора. Литосфера и астеносфера. Сейсмология и глобальная тектоника.

Основы теории упругости [Ландау, Лифшиц, 2003, с. 9-25, 130-144]

Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости . Основные уравнения теории упругости были установлены О.Л. Коши и С.Д. Пуассоном в 20-х годах 19 века (подробнее см. главу 15).

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором r (с компонентами х 1 = х , х 2 = у , х 3 = z ) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был r , то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое

значение r / (с компонентами x i / ). Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором r / - r , который обозначим буквой u :

u = x/ − x .

Вектор u называют вектором деформации (или вектором смещения ). Знание вектора u

как функции от x i полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Если радиусвектор между ними до деформирования был dx i , то в деформированном теле радиус-

вектор между теми же двумя точками будет dx i / = dx i + du i . Само расстояние между точками до деформирования было равно:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2 ,

а после деформирования:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Окончательно получаем:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂x k

∂x i

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор u ik называется тензором деформации ; по своему определению он симметричен:

u ik = u ki .

Как и всякий симметричный тензор, тензор u ik в каждой точке можно привести к

главным осям и убедиться, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформации по трем перпендикулярным направлениям – главным осям тензора деформации. Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей.

За исключением некоторых особых случаев, которых касаться не будем, если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации также являются малыми. Поэтому в выражении (4.3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определится выражением:

u = 1	∂u i	+ ∂ u k ) .

	∂x k	∂x i

Итак, силы являются причиной возникающих в теле движений (перемещений), а деформации – результатом движений [Хайкин, 1963, с. 176].

Основное допущение классической теории упругости

В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю.

При деформировании же расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникнут силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформировании внутренние силы называются внутренними напряжениями . Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют.

Внутренние напряжения обуславливаются молекулярными связями, т.е. силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние распространяется вокруг создающей их частицы лишь на расстоянии порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния, большие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому «радиус действия» молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным нулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам.

Таким образом, в классической теории упругости силы, действующие на какуюнибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, проявляют это действие только непосредственно через поверхность этой части тела.

По сути, такой же идеологии применительно к теории упругости вслед за [Ландау, Лифшиц, 2003] придерживается и автор фундаментального труда [Хайкин, 1963, с. 484].

Тензор напряжений

Вывод о том, что все силы проявляют свое действие только через поверхность, является ключевым для классической теории упругости. Он позволяет для любого объема тела каждую из трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений сил

∫ F i dV (где F i - сила, действующая на единицу объема dV ) преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. В таком случае, как следует из векторного анализа, вектор F i должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т.е. иметь вид:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Тогда сила, действующая на некоторый объем, сможет быть записана в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей этот объем:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik	= ∫ σ ik df k ,

где вектор d f = df 2	Df 2	направлен	по внешней нормали к поверхности,

охватывающей объем dV .

Тензор σ ik называется тензором напряжений . Как видно из (4.7), σ ik df k есть i -я

компонента силы, действующей на элемент поверхности d f . Выбирая элементы поверхности в плоскостях ху , уz , xz , находим, что компонента σ ik тензора напряжений

есть i -я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси x k . Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси х , действуют нормальная к

ней (направленная вдоль оси х ) сила σ xx и тангенциальные (направленные по осям y и z )

силы σ yx и σ zx .

Отметим, что сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, в отличие от (4.7) есть:

− ∫ σ ik df k .

Записывая момент сил M ik , действующих на некоторый объем тела, в виде:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

и требуя, чтобы он выражался в виде интеграла только по поверхности, получаем, что тензор напряжения является симметричным:

σ ik = σ ki .

К аналогичному выводу можно прийти и более простым путем [Сивухин, 1974, с. 383]. А именно. Момент dM ik прямо пропорционален моменту инерции элементарного

объема dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 и, следовательно, получаем (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , откуда автоматически следует соотношение (4.8).

Симметрия тензора напряжений позволяет его в каждой точке привести его к главным осям , т.е. в каждой точке тензор напряжений может быть представлен в виде:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

В равновесии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема тела, т.е. должно быть F i = 0 . Таким образом, уравнения

равновесия деформированного тела имеют вид:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Если тело находится в поле силы тяжести, то должна исчезать сумма F + ρ g сил внутренних напряжений F и силы тяжести ρ g , действующей на единицу объема, ρ -

плотность тела, g – вектор ускорения свободного падения. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂x k

Энергия деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации u i изменяется на малую величину δ u i .

Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу (4.6) на перемещение δ u i и интегрируя по всему объему тела, получим:

	∫ ∂ x k
δ RdV =		∂ σ ik	δ ui dV .
δ RdV =			δ ui dV .

Символом δ R обозначена работа сил внутренних напряжений в единице объема тела. Интегрируя по частям, рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремляя поверхность интегрирования в бесконечность, тогда на ней σ ik = 0 , получаем:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Таким образом, находим:

δ R = − σ ikδ u ik .

Полученная формула определяет работу по изменению тензора деформации, которая и определяет изменение внутренней энергии тела.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Основные положения, допущения и обозначения Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра. Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке

Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке. Напряжения по октаэдрическим площадкам Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями. Относительная

линейная деформация в произвольном направлении Уравнения совместности деформаций. Закон Гука для изотропного тела Плоская задача в прямоугольных координатах Плоская задача в полярных координатах

Возможные решения задач теории упругости. Решения задач в перемещениях и напряжениях Наличие температурного поля. Краткие выводы по разделу ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ Уравнения в цилиндрических координатах Уравнения в цилиндрических координатах (продолжение)

Деформация толстостенного сферического сосуда Сосредоточенная сила, действующая на плоскость

Частные случаи загрузки упругого полупространства: равномерная загрузка по площади круга, загрузка на площади круга по "полушару", обратная задача Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство. Задача об упругом смятии шаров ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ

Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы Исследование напряжений при давлении на одном из контуров. Условия прочности при упругой деформации Напряжения в составных трубах. Понятие о расчете многослойных труб Примеры расчетов

ПЛАСТИНЫ, МЕМБРАНЫ Основные определения и гипотезы

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах Цилиндрический и сферический изгиб пластины

Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины. Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины Граничные условия в круглых пластинах. Наибольшие напряжения и прогибы. Условия прочности. Температурные напряжения в пластинах

Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения. Приближенное определение прогибов и напряжений в круглых мембранах Примеры расчетов Примеры расчетов (продолжение)

1.1 Основные положения, допущения и обозначения

Теория упругости имеет целью аналитическое изучение напряженнодеформированного состояния упругого тела. С помощью теории упругости могут быть проверены решения, полученные с использованием допущений сопротивления

материалов, и установлены границы применимости этих решений. Иногда разделы теории упругости, в которых, как и в сопротивлении материалов, рассматривается вопрос о пригодности детали, но с использованием достаточно сложного математического аппарата (расчет пластин, оболочек, массивов), относят к прикладной теории упругости.

В настоящей главе изложены основные понятия математической линейной теории упругости. Применение математики к описанию физических явлений требует их схематизации. В математической теории упругости задачи решаются с возможно меньшим числом допущений, что усложняет математические приемы, применяемые для решения. В линейной теории упругости предполагается существование линейной зависимости между составляющими напряжениями и деформациями. Для ряда материалов (резина, некоторые сорта чугуна) такая зависимость даже при малых деформациях не может быть принята: диаграмма σ - ε в пределах упругости имеет одинаковые очертания как при нагружении, так и при разгрузке, но в обоих случаях криволинейна. При исследовании таких материалов необходимо пользоваться зависимостями нелинейной теории упругости.

В математической линейной теории упругости исходят из следующих допущений:

1. О непрерывности (сплошности) среды. При этом атомистическая структура вещества или наличие каких-либо пустот не учитывается.

2. О естественном состоянии, на основании которого начальное напряженное (деформированное) состояние тела, возникшее до приложения силовых воздействий, не учитывается, т. е. предполагается, что в момент нагружения тела деформации и напряжения в любой его точке равны нулю. При наличии начальных напряжений это допущение будет справедливым, если только к результирующим напряжениям (сумме начальных и возникших от из воздействий) могут быть применены зависимости линейной теории упругости.

3. Об однородности, на основании которого предполагается, что состав тела одинаков во всех точках. Если применительно к металлам это допущение не дает больших погрешностей, то в отношении бетона при рассмотрении малых объемов оно может привести к значительным погрешностям.

4. О шаровой изотропности, на основании которого считается, что механи-ческие свойства материала одинаковы по всем направлениям. Кристаллы металла не обладают таким свойством, но для металла в целом, состоящего из большого числа мелких кристаллов, можно считать, что эта гипотеза справедлива. Для материалов, обладающих различными механическими свойствами в разных направлениях, как, например, для слоистых пластиков, разработана теория упругости ортотропных и анизотропных материалов.

5. Об идеальной упругости, на основании которого предполагается полное исчезновение деформации после снятия нагрузки. Как известно, в реальных телах при любом нагружении возникает остаточная деформация. Поэтому допущение

6. О линейной зависимости между составляющими деформациями и напря-жениями.

7. О малости деформаций, на основании которого предполагается, что относительные линейные и угловые деформации малы по сравнению с единицей. Для таких материалов, как резина, или таких элементов, как спиральные пружины, создана теория больших упругих деформаций.

При решении задач теории упругости пользуются теоремой о единственности решения: если заданные внешние поверхностные и объемные силы находятся в равновесии, им соответствует одна единственная система напряжений и перемещений. Положение о единственности решения справедливо, если только справедливы допущение о естественном состоянии тела (иначе возможно бесчисленное количество решений) и допущение о линейной зависимости между деформациями и внешними силами.

При решении задач теории упругости часто пользуются принципом Сен-Венана: если внешние силы, приложенные на небольшом участке упругого тела, заменить действующей на том же участке статически эквивалентной системой сил (имеющей тот же главный вектор и тот же главный момент), то эта замена вызовет лишь изменение местных деформаций.

В точках, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения мало зависят от способа их приложения. Нагрузка, которая в курсе сопротивления материалов схематически выражалась на основании принципа Сен-Венана в виде силы или сосредоточенного момента, на самом деле представляет собой нормальные и касательные напряжения, распределенные тем или иным способом на определенном участке поверхности тела. При этом одной и той же силе или паре сил может соответствовать различное распределение напряжений. На основании принципа Сен-Венана можно считать, что изменение усилий на участке поверхности тела почти не отражается на напряжениях в точках, удаленных на достаточно большое расстояние от места приложения этих усилий (по сравнению с линейными размерами нагруженного участка).

Положение исследуемой площадки, выделенной в теле (рис. 1), определяется направляющими косинусами нормали N к площадке в выбранной системе прямоугольных осей координат х, у и z.

Если Р - равнодействующая внутренних сил, действующих по элементарной площадке , выделенной у точки А, то полное напряжение р N в этой точке по площадке с нормалью N определяется как предел отношения в

следующей форме:

Вектор р N можно разложить в пространстве на три взаимно перпенди-кулярные составляющие.

2. На составляющие σ N , τ N s и τ N t по направлениям нормали к площадке (нормальное напряжение) и двух взаимно перпендикулярных осей s и t (рис. 1,б), лежащих в плоскости площадки (касательные напряжения). Согласно рис.1, б

Если сечение тела или площадка параллельны одной из плоскостей координат, например у0z (рис. 2), то нормалью к этой площадке будет третья ось координат х и составляющие напряжения будут иметь обозначения σ x , τ xy и τ xz .

Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, и отрицательно, если оно сжимающее. Знак касательного напряжения определяется с помощью следующего правила: если положительное (растягивающее) нормальное напряжение по площадке дает положительную проекцию, то касательное

напряжение по той же площадке считается положительным при условии, что оно тоже дает положительную проекцию на соответствующую ось; если же растягивающее нормальное напряжение дает отрицательную проекцию, то положительное касательное напряжение тоже должно давать отрицательную проекцию на соответствующую ось.

На рис. 3, например, все составляющие напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипеда, совпадающим с плоскостями координат, положительны.

Чтобы определить напряженное состояние в точке упругого тела, необходимо знать полные напряжения р N по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Так как каждое полное напряжение можно разложить на три составляющие, напряженное состояние будет определено, если будут известны девять составляющих напряжений. Эти составляющие можно записать в виде матрицы

называемой матрицей компонентов тензора напряжений в точке.

В каждой горизонтальной строчке матрицы записаны три составляющих напряжения, действующих по одной площадке, так как первые значки (название нормали) у них одинаковые. В каждом вертикальном столбце тензора записаны три напряжения, параллельных одной и той же оси, так как вторые значки (название оси, параллельно которой действует напряжение) у них одинаковые.

1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда

и элементарного тетраэдра

Выделим у исследуемой точки А (с координатами х, у и z) напряженного упругого тела тремя взаимно перпендикулярными парами плоскостей элементарный параллелепипед с размерами ребер dx, dy и dz (рис. 2). По каждой из трех взаимно перпендикулярных граней, примыкающих к точке А (ближайших к плоскостям координат), будут действовать три составляющих напряжения − нормальное и два касательных. Считаем, что по граням, примыкающим к точке А, они положительны.

При переходе от грани, проходящей через точку А, к параллельной грани напряжения меняются и получают приращения. Например, если по грани CAD, проходящей через точку А, действуют составляющие напряжения σ х = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x,y,z,) , то по параллельной грани, вследствие приращения только одной координаты х при переходе от одной грани к другой, будут действовать

составляющие напряжения Можно определить напряжения на всех гранях элементарного параллелепипеда, как показано на рис. 3.

Кроме напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, на него действуют объемные силы: силы веса, инерционные. Обозначим проекции этих сил, отнесенных к единице объема, на оси координат через X, У и Z. Если приравнять нулю сумму проекций на ось х всех нормальных, касательных и объемной сил,

действующих на элементарный параллелепипед, то после сокращения на произведение dxdydz получим уравнение

Составив аналогичные уравнения проекций сил на оси у и z , напишем три дифференциальных уравнения равновесия элементарного параллелепипеда, полученных Коши,

При уменьшении размеров параллелепипеда до нуля он превращается в точку, а σ и τ представляют собой составляющие напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через точку А .

Если приравнять нулю сумму моментов всех сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно оси x c , параллельной оси х и проходящей через его центр тяжести, получим уравнение

или, с учетом того, что второй и четвертый члены уравнения высшего порядка малости по сравнению с остальными, после сокращения на dxdydz

τ yz - τ zy = 0 или τ yz = τ zy.

Составив аналогичные уравнения моментов относительно центральных осей у c и z c , получим три уравнения закона парности касательных напряжений

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy , τ zx = τ xz . (1.3)

Этот закон формулируется так: касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам и направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и одинаковы по знаку.

Таким образом, из девяти составляющих напряжений матрицы тензора Т σ шесть попарно равны друг другу, и для определения напряженного состояния в точке достаточно найти лишь следующие шесть составляющих напряжений:

Но составленные условия равновесия дали нам всего лишь три уравнения (1.2), из которых шесть неизвестных найдены быть не могут. Таким образом, прямая задача определения напряженного состояния в точке в общем случае статически неопределима. Для раскрытия этой статической неопределимости необходимы дополнительные геометрические и физические зависимости.

Рассечем элементарный параллелепипед у точки А плоскостью, наклоненной к его граням; пусть нормаль N к этой плоскости имеет направляющие косинусы l, т и п. Получившаяся геометрическая фигура (рис. 4) представляет собой пирамиду с треугольным основанием − элементар-ный тетраэдр. Будем считать, что точка А совпадает с началом координат, а три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра − с плоскостями координат.

Составляющие напряжения, действующие по этим граням тетраэдра, будем считать

положительными. Они показаны на рис. 4. Обозначим через , и проекции полного напряжения p N , действующего по наклонной грани BCD тетраэдра, на оси х, у и z. Площадь наклонной грани BCD обозначим dF. Тогда площадь грани АВС будет dFп, грани ACD − dFl и грани АDВ − dFт.

Составим уравнение равновесия тетраэдра, спроектировав все силы, действующие по его граням, на ось х; проекция объемной силы в уравнение проекций не входит, так

как представляет собой величину высшего порядка малости по сравнению с проекциями поверхностных сил:

Составив уравнения проекции сил, действующих на тетраэдр, на оси у и z , получим еще два аналогичных уравнения. В результате будем иметь три уравнения равновесия элементарного тетраэдра

Разделим пространственное тело произвольной формы системой взаимно перпендикулярных плоскостей хОу, yОz и хОz (рис. 5) на ряд элементарных параллелепипедов. У поверхности тела при этом образуются элементарные

тетраэдры, (криволинейные участки поверхности ввиду их малости можно заменить плоскостями). В таком случае р N будет представлять нагрузку на поверхности, а уравнения (1.4) будут связывать эту нагрузку с напряжениями σ и τ в теле, т. е. будут представлять граничные условия задачи теории упругости. Условия, определяемые этими уравнениями, называют условиями на поверхности.

Следует отметить, что в теории упругости внешние нагрузки представляются нормальными и касательными напряжениями, приложенными по какому-либо закону к площадкам, совпадающим с поверхностью тела.

1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной

площадке

Рассмотрим элементарный тетраэдр ABCD, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а нормаль N к четвертой грани составляет с координатными осями углы, косинусы которых равны l, т и п (рис. 6). Будем считать заданными составляющие нормальные и касательные напряжения, действующие по площадкам, лежащим в координатных плоскостях, и определим напряжения на площадке BCD. Выберем новую систему прямоугольных осей координат х 1 , y 1 и z 1 , так чтобы ось х 1 совпадала с нормалью N ,

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ – раздел механики сплошных сред, изучающий перемещения, деформации и напряжения покоящихся или движущихся тел под действием нагрузок. Цель этой теории – вывод математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы: каковы будут деформации данного конкретного тела, если к нему приложить в известных местах нагрузки заданной величины? Каковы будут при этом напряжения в теле? Вопрос в том, разрушится ли тело или выдержит эти нагрузки, тесно связан с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в компетенцию этой теории.

Количество возможных примеров безгранично – от определения деформаций и напряжений в балке, лежащей на опорах и нагруженной силами, до расчета тех же величин в конструкции самолета, корабля, подводной лодки, в колесе вагона, в броне при ударе снаряда, в горном массиве при прохождении штольни, в каркасе высотного здания и т.д. Здесь нужно сделать оговорку: конструкции, состоящие из тонкостенных элементов, рассчитывают по упрощенным теориям, логически основанным на теории упругости; к таким теориям относятся: теория сопротивления материалов действию нагрузок (знаменитый «сопромат»), задачей которой, в основном, является расчет стержней и балок; строительная механика – расчет стержневых систем (например, мостов); и, наконец, теория оболочек – по существу, самостоятельная и очень сильно развитая область науки о деформациях и напряжениях, предмет исследования которой – важнейшие элементы конструкций – тонкостенные оболочки – цилиндрические, конические, сфероидальные, и имеющие более сложные формы. Поэтому в теории упругости обычно рассматриваются тела, у которых существенные размеры отличаются не слишком сильно. Таким образом, рассматривается упругое тело заданной формы, на которое действуют известные силы.

Основными понятиями теории упругости являются напряжения, действующие на малых площадках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку M , деформации малой окрестности точки M и перемещения самой точки M . Точнее говоря, вводятся тензоры напряжений s ij , тензор малых деформаций e ij и вектор перемещения u i .

Краткое обозначение s ij , где индексы i , j принимают значения 1, 2, 3 следует понимать как матрицу вида:

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора e ij .

Если физическая точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве M´ , то вектор перемещения есть вектор с компонентами (u x u y u z ), или, сокращенно, u i . В теории малых деформаций компоненты u i и e i считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора e ij и вектора u ij связаны формулами Коши, которые имеют вид:

Видно, что e xy = e yx , и, вообще говоря, e ij = e ji , поэтому тензор деформаций является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую можно мысленно из него выделить. Из тела выделяется маленький (строго говоря, бесконечно малый) прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы Oxyz (рис. 1).

Пусть ребра параллелепипеда имеют длины dx , dy , dz соответственно (здесь, как обычно dx есть дифференциал x , и т.д.). Согласно теории напряжений, на гранях параллелепипеда действуют компоненты тензора напряжений, которые обозначаются:

на грани OADG : s xx , s xy , s xz

на грани OABC : s yx , s yy , s yz

на грани DABE : s zx , s zy , s zz

при этом компоненты с одинаковыми индексами (например s xx ) действуют перпендикулярно грани, а с разными индексами – в плоскости площадки.

На противоположных гранях значения одноименных компонент тензора напряжений немного отличаются, это связано с тем, что они являются функциями координат и изменяются от точки к точке (всегда, кроме известных простейших случаев), а малость изменения связана с малыми размерами параллелепипеда, поэтому можно считать, что если на грани OABC действует напряжение s yy , то на грани GDEF действует напряжение s yy +ds yy , причем малая величина ds yy именно в силу своей малости может быть определена с помощью разложения в ряд Тейлора:

(здесь используются частные производные, т.к. компоненты тензора напряжений зависят от x , y , z ).

Аналогично можно выразить напряжения на всех гранях через s ij и ds ij . Далее, чтобы перейти от напряжений к силам, нужно умножить величину напряжения на площадь той площадки, на которой оно действует (например, s yy + ds yy умножить на dx dz ). Когда все силы, действующие на параллелепипед, определены, можно, как это делают в статике, записать уравнение равновесия тела, при этом во всех уравнениях для главного вектора останутся только члены с производными, так как сами напряжения взаимно уничтожаются, а множители dx dy dz сокращаются и в результате

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающие равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:

Эти равенства означают, что тензор напряжений есть симметричный тензор. Таким образом, для 6 неизвестных компонент s ij есть три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения s ij через деформации e ij с помощью уравнений закона Гука , а затем деформации e ij выразить через перемещения u i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнения равновесия. При этом получается три дифференциальных уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u x u y u z , т.е. число неизвестных равно числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Ламе

не учитываются массовые силы (вес и др.)

D – оператор Лапласа , то есть

Теперь нужно задать на поверхности тела граничные условия;

основные виды этих условий следующие:

1. На известной части поверхности тела S 1 заданы перемещения, т.е. вектор перемещений равен известному вектору с компонентами { f x ; f y ; f z }:

u x = f (xyz )

u y = f (xyz)

u z = f (xyz )

(f x , f y , f z – известные функции координат)

2. На остальной части поверхности S 2 заданы поверхностные силы. Это означает, что распределение напряжений внутри тела таково, что величины напряжений в непосредственной близости от поверхности, а в пределе – на поверхности на каждой элементарной площадке создают вектор напряжений, равный известному вектору внешней нагрузки с компонентами { F x ;F y ; F z } поверхностных сил. Математически это записывается так: если в точке A поверхности вектор единичной нормали к этой поверхности имеет компоненты n x , n y , n z то в этой точке должны быть выполнены равенства относительно (неизвестных) компонент s ij : e ij , то для трех неизвестных получим шесть уравнений, то есть переопределенную систему. Эта система будет иметь решение только при выполнении дополнительных условий относительно e ij . Эти условия и есть уравнения совместности.

Эти уравнения часто называют условиями сплошности, подразумевая при этом, что они обеспечивают сплошность тела после деформации. Это выражение образное, но неточное: эти условия обеспечивают существование непрерывного поля перемещений, если в качестве неизвестных принять компоненты деформаций (или напряжений). Невыполнение этих условий ведет не к нарушению сплошности, а к отсутствию решения задачи.

Таким образом, теория упругости дает дифференциальные уравнения и граничные условия, которые позволяют сформулировать краевые задачи, решение которых дает полную информацию о распределении в рассматриваемых телах напряжений, деформаций и перемещений. Методы решения таких задач весьма сложны и наилучшие результаты дает сочетание аналитических методов с численными, использующими мощные компьютеры.

Владимир Кузнецов